python - 在 SymPy 中，为什么两个随机变量相加会产生难以理解的结果？

Question

考虑 SymPy 中 2 个高斯变量的求和:

from sympy import *
from sympy.stats import *

init_printing()

a = Normal('a', 0, Symbol('P', real=true))
b = Normal('b', 0, Symbol('Q', real=true))

ss = a + b

pprint(simplify(density(ss)))

我希望结果是具有更多方差的高斯 PDF。相反，结果如下所示:

    ⎧    ⎛               2  2                                                 
    ⎪    ⎜              z ⋅P                                                  
    ⎪    ⎜         ───────────────                                            
    ⎪    ⎜              ⎛  2     ⎞                                            
    ⎪    ⎜            4 ⎜ P     1⎟                                            
    ⎪    ⎜         4⋅Q ⋅⎜──── + ─⎟                                            
    ⎪    ⎜              ⎜   2   2⎟                                           2
    ⎪    ⎜              ⎝2⋅Q     ⎠    ⎛         z⋅P         ⎞               z 
    ⎪    ⎜  z⋅π⋅P⋅ℯ               ⋅erf⎜─────────────────────⎟          ───────
    ⎪    ⎜                            ⎜           __________⎟               ⎛ 
    ⎪    ⎜                            ⎜          ╱   2      ⎟             4 ⎜ 
    ⎪    ⎜                            ⎜   2     ╱   P     1 ⎟          4⋅Q ⋅⎜─
    ⎪    ⎜                            ⎜2⋅Q ⋅   ╱   ──── + ─ ⎟               ⎜ 
    ⎪    ⎜                            ⎜       ╱       2   2 ⎟               ⎝2
    ⎪    ⎜                            ⎝     ╲╱     2⋅Q      ⎠   z⋅π⋅P⋅ℯ       
    ⎪  Q⋅⎜- ───────────────────────────────────────────────── - ──────────────
    ⎪    ⎜                           __________                            ___
    ⎪    ⎜                          ╱   2                                 ╱   
    ⎪    ⎜                   2     ╱   P     1                     2     ╱   P
z ↦ ⎨    ⎜                2⋅Q ⋅   ╱   ──── + ─                  2⋅Q ⋅   ╱   ──
    ⎪    ⎜                       ╱       2   2                         ╱      
    ⎪    ⎝                     ╲╱     2⋅Q                            ╲╱     2⋅
    ⎪- ───────────────────────────────────────────────────────────────────────
    ⎪                                             3/2                         
    ⎪                                        2⋅z⋅π   ⋅P                       
    ⎪                                                                         
    ⎪                                                                         
    ⎪                                                                         
    ⎪                                                                         
    ⎪                                                                         
    ⎪                                                                         
    ⎪                                                                         
    ⎪                                                                         
    ⎪                                                                         
    ⎪                                                                         
    ⎪                                                                         
    ⎪                                                                         
    ⎪                                                                         
    ⎩                                                                         
... (426 lines in total)                                         

                         ⎞                                             ⎞
 ⎛      1          ⎞│   π⎟   │                 ⎛      1          ⎞│   π⎟
t⎜──────────────, ∞⎟│ < ─⎟ ∨ │periodic_argument⎜──────────────, ∞⎟│ < ─⎟
 ⎜          2      ⎟│   2⎟   │                 ⎜          2      ⎟│   2⎟
 ⎝polar_lift (P)   ⎠│    ⎠   │                 ⎝polar_lift (P)   ⎠│    ⎠

为什么 SymPy 给出了如此奇怪的结果，我应该怎样做才能得到简洁的形式？

Answer 1

将第二个参数(标准差，“sigma”)声明为正数:

a = Normal('a', 0, Symbol('P', positive=True))
b = Normal('b', 0, Symbol('Q', positive=True))

那么结果就如预期了:

               2     
             -z      
         ─────────── 
            2      2 
         2⋅P  + 2⋅Q  
     √2⋅ℯ            
z ↦ ─────────────────
            _________
           ╱  2    2 
    2⋅√π⋅╲╱  P  + Q  

在底层，SymPy 使用 Meijer G 函数计算不正确积分，这涉及将计算提升到某个黎曼曲面，并且 P 或 Q 为负数可能会导致采用另一个分支；因此，答案很复杂。从数学上讲，这对于计算来说应该没有多大影响，因为西格玛是指数的平方；但这对于算法的成功很重要。

如果 SymPy 只知道如何添加独立法线，那么所有这些都毫无意义，但它不知道；所有此类计算都是通过直接积分完成的，通常会扩展所实现的积分方法的限制。

备注:

1. 您已使用 true(SymPy 真值对象)，但符号创建方法需要 Python 的 True。
2. 最好避免组合使用 from sympy import * 和 from sympy.stats import *，因为这会导致命名冲突:E 是 Euler 的SymPy 中的数字和 sympy.stats 中预期值的表示法。