python - 在计算最小二乘法时，为什么要添加 1 的向量？

Question

阅读 scipy 最小二乘文档 https://docs.scipy.org/doc/numpy/reference/generated/numpy.linalg.lstsq.html状态:

We can rewrite the line equation as y = Ap, where A = [[x 1]] and p = [[m], [c]]. Now use lstsq to solve for p:

A = np.vstack([x, np.ones(len(x))]).T

A array([[ 0., 1.], [ 1., 1.], [ 2., 1.], [ 3., 1.]])

为什么将行重写为 y = Ap 并将向量添加到新变量 A 中。最小二乘仅根据 x 、 y 值估计，那么为什么要添加 1 向量呢？

Answer 1

假设您有 5 个 x 值和相应的 5 个 y 值，您希望通过线性回归来拟合它们。你可以写y1=m*x1 + c , y2=m*x2 + c , ... y5=m*x5 + c哪里m是线性拟合的斜率，c是 y 轴截距( x=0 的 y 值)。表示这是一个矩阵形式，因为你有 5 个 x 值，你的 A矩阵将有 5 行，每行有两个条目:x 值和常数 1来自上述 5 个方程组。因此在 A = np.vstack([x, np.ones(len(x))]).T ，您可以使用 np.ones(len(x)) 添加与 x 值一样多的值。引入一个由 1 组成的向量只是一组方程的常见矩阵表示的结果。

为了获得更多直觉，只需编写我在下面提到的 5 个方程，然后将它们重新编写为矩阵形式，您就会明白为什么需要 A 中的一个向量。 。