python - numpy.linalg.pinv 的 rcond 参数有什么作用？

Question

在查找如何在numpy(1.15.4)中计算伪逆时，我注意到numpy.linalg.pinv有一个参数rcond 其描述为:

rcond : (…) array_like of float

Cutoff for small singular values. Singular values smaller (in modulus) than rcond * largest_singular_value (again, in modulus) are set to zero. Broadcasts against the stack of matrices

根据我的理解，如果rcond是标量 float ，则所有条目在 pinv 的输出中，本来应该小于 rcond 的输出应该设置为零(这将非常有用)，但事实并非如此，例如:

>>> A = np.array([[ 0., 0.3, 1., 0.],
                  [ 0., 0.4, -0.3, 0.],
                  [ 0., 1., -0.1, 0.]])

>>> np.linalg.pinv(A, rcond=1e-3)

array([[ 8.31963531e-17, -4.52584594e-17, -5.09901252e-17],
       [ 1.82668420e-01,  3.39032588e-01,  8.09586439e-01],
       [ 8.95805933e-01, -2.97384188e-01, -1.49788105e-01],
       [ 0.00000000e+00,  0.00000000e+00,  0.00000000e+00]])

这个参数实际上有什么作用？我只能通过再次迭代整个输出矩阵来获得我真正想要的行为吗？

Answer 1

在幕后，使用 singular value decomposition 计算伪逆。 。初始矩阵 A=UDV^T 反转为 A^+=VD^+U^T，其中 D 是对角矩阵正实数值(奇异值)。 rcond 用于将 D 中的小条目归零。例如:

import numpy as np    

# Initial matrix
a = np.array([[1, 0], 
              [0, 0.1]])

# SVD with diagonal entries in D = [1. , 0.1]
print(np.linalg.svd(a))
# (array([[1., 0.],
#         [0., 1.]]), 
#  array([1. , 0.1]), 
#  array([[1., 0.],
#         [0., 1.]]))    

# Pseudoinverse
c = np.linalg.pinv(a)
print(c)
# [[ 1.  0.]
# [ 0. 10.]]

# Reconstruction is perfect
print(np.dot(a, np.dot(c, a)))
# [[1.  0. ]
#  [0.  0.1]]

# Zero out all entries in D below rcond * largest_singular_value = 0.2 * 1
# Not entries of the initial or inverse matrices!
d = np.linalg.pinv(a, rcond=0.2)
print(d)
# [[1. 0.]
# [0. 0.]]

# Reconstruction is imperfect
print(np.dot(a, np.dot(d, a)))
# [[1. 0.]
#  [0. 0.]]

将矩阵的小值归零:

a = np.array([[1, 2],
              [3, 0.1]])

a[a < 0.5] = 0
print(a)
# [[1. 2.]
#  [3. 0.]]