z3 - 证明 Z3 中的归纳事实

Question

我试图证明 Z3(Microsoft 的 SMT 求解器)中的一个归纳事实。我知道 Z3 通常不提供此功能，如 Z3 guide 中所述。 (第 8 节:数据类型)，但是当我们限制要证明事实的域时，这似乎是可能的。考虑以下示例:

(declare-fun p (Int) Bool)
(assert (p 0))

(assert (forall ((x Int)) 
    (=> 
    (and (> x 0) (<= x 20))
    (= (p (- x 1)) (p x) ))))
(assert (not (p 20)))

(check-sat)

求解器正确响应 unsat ，这意味着 (p 20)已验证。问题是，当我们进一步放宽这个约束时(我们用大于 20 的任何整数替换前面例子中的 20)，求解器响应 unknown .

我觉得这很奇怪，因为 Z3 解决原来的问题并不需要很长时间，但是当我们将上限增加 1 时，它突然变得不可能。我试图向量词添加一个模式，如下所示:

(declare-fun p (Int) Bool)
(assert (p 0))

(assert (forall ((x Int)) 
    (! (=> 
    (and (> x 0) (<= x 40))
    (= (p (- x 1)) (p x) )) :pattern ((<= x 40)))))
(assert (not (p 40)))

(check-sat)

哪个似乎效果更好，但现在上限是 40。这是否意味着我最好不要使用 Z3 来证明这样的事实，或者我是否错误地表述了我的问题？

Answer 1

Z3 使用许多启发式方法来控制量词实例化。其中之一是基于“实例化深度”。 Z3 用“深度”属性标记每个表达式。所有用户提供的断言都被标记为深度 0。当一个量词被实例化时，新表达式的深度会发生碰撞。 Z3 不会使用深度大于预定义阈值的表达式来实例化量词。在您的问题中，达到阈值:(p 40)是深度 0，(p 39)是深度 1，(p 38)是深度 2，等等。

要增加阈值，您应该使用以下选项:

(set-option :qi-eager-threshold 100)

这是带有此选项的示例: http://rise4fun.com/Z3/ZdxO .

当然，使用这个设置，Z3会超时，例如对于 (p 110) .

future ，Z3将对“有界量化”有更好的支持。在大多数情况下，处理这种量词的最佳方法是对其进行扩展。
使用编程 API，我们可以在将表达式发送到 Z3 之前轻松地“实例化”它们。
这是 Python 中的一个示例 ( http://rise4fun.com/Z3Py/44lE ):

p = Function('p', IntSort(), BoolSort())

s = Solver()

s.add(p(0))
s.add([ p(x+1) == p(x) for x in range(40)])
s.add(Not(p(40)))

print s.check()

最后，在 Z3 中，包含算术符号的模式不是很有效。问题是Z3在求解前对公式进行了预处理。然后，大多数包含算术符号的模式将永远不会匹配。有关如何有效使用模式/触发器的更多信息，请参阅 this article .作者还提供了 slide deck .