numpy - scipy.linalg.eig 是否给出了正确的左特征向量？

Question

我有一个关于 scipy.linalg.eig 如何计算左右特征向量的问题。也许我误解了一切，但事情似乎对我来说不对......
从一开始就。为了获得特征值和两个特征向量，我使用了以下内容:ev, left_v, right_v = scipy.linalg.eig(A, left=True)根据manual ，设置后left=True在调用函数时，我应该期望得到左特征向量作为 left_v 的列其中第 i 列是指第 i 个特征值。然而，结果不是我预期的，所以我做了一个简单的检查。
我计算了两次调用该函数的左右特征向量(查看 here 了解详细信息):

right_ev, right_v_2 = scipy.linalg.eig(A)
left_ev, left_v_2 = scipy.linalg.eig(A.T)

其中 left_v_2 的列是与 left_ev 中的相应值相关联的特征向量.
值得强调的是 right_ev_2和 left_ev_2给出相同的特征值，但它们的顺序不同，需要考虑。
比较 left_ev和 left_ev_2 (根据特征值重新排序后)可以很快发现前者是后者的共轭，因此 left_ev从 scipy.linalg.eig 获得与 left=True不是有效的左特征向量。
另一个对特征向量有效性的检查可以基于这样一个事实:对于任意实方矩阵，左右特征向量是双正交的，即: left_v.T.dot(right_v)应该给出一个对角矩阵，但它没有，
直到我将其更改为: left_v.T.conj().dot(right_v) ,
尽管: left_v_2.T.dot(right_v_2)给出一个预期的对角矩阵。
有没有人遇到过类似的问题？我说的对吗？ sciPy 手册在描述 eig 时是否有点不精确?你能给点建议吗？
非常感谢!

Answer 1

关于 vl , eig docstring 说:

a.H vl[:,i] = w[i].conj() b.H vl[:,i]

或者，取两边的共轭转置(即厄米转置)(这就是 .H 的意思)，并假设 b是身份，

vl[:,i].H a = w[i] vl[:,i].H

所以 vl的共轭转置的行是 a 的实际左特征向量.

Numpy 数组实际上没有 .H 属性，因此您必须使用 .conj().T。

这是一个验证计算的脚本:

import numpy as np
from scipy.linalg import eig

# This only affects the printed output.
np.set_printoptions(precision=4)

a = np.array([[6, 2],
              [-1, 4]])

w, vl, vr = eig(a, left=True)

print "eigenvalues:", w
print

# check the left eigenvectors one-by-one:
for k in range(a.shape[0]):
    val = w[k]
    # Use a slice to maintain shape; vec is a 2x1 array.
    # That allows a meaningful transpose using .T.
    vec = vl[:, k:k+1]
    # rowvec is 1x2; it is the conjugate transpose of vec.
    # This should be the left eigenvector.
    rowvec = vec.conj().T
    # Verify that rowvec is a left eigenvector
    lhs = rowvec.dot(a)
    rhs = val * rowvec
    print "Compare", lhs, "to", rhs
    print rowvec, "is",
    if not np.allclose(lhs, rhs):
        print "*NOT*",
    print "a left eigenvector for eigenvalue", val

print
print "Matrix version:"
print "This"
print vl.conj().T.dot(a)
print "should equal this"
print np.diag(w).dot(vl.conj().T)

输出:

eigenvalues: [ 5.+1.j  5.-1.j]

Compare [[ 1.6330+2.4495j  4.0825+0.8165j]] to [[ 1.6330+2.4495j  4.0825+0.8165j]]
[[ 0.4082+0.4082j  0.8165-0.j    ]] is a left eigenvector for eigenvalue (5+1j)
Compare [[ 1.6330-2.4495j  4.0825-0.8165j]] to [[ 1.6330-2.4495j  4.0825-0.8165j]]
[[ 0.4082-0.4082j  0.8165+0.j    ]] is a left eigenvector for eigenvalue (5-1j)

Matrix version:
This
[[ 1.6330+2.4495j  4.0825+0.8165j]
 [ 1.6330-2.4495j  4.0825-0.8165j]]
should equal this
[[ 1.6330+2.4495j  4.0825+0.8165j]
 [ 1.6330-2.4495j  4.0825-0.8165j]]

现在， eig docstring 在返回值的描述中还说:

vl : double or complex ndarray
    The normalized left eigenvector corresponding to the eigenvalue
    ``w[i]`` is the column v[:,i]. Only returned if ``left=True``.
    Of shape ``(M, M)``.

这可能会产生误导，因为左特征向量的传统定义(例如 http://mathworld.wolfram.com/LeftEigenvector.html 或 http://en.wikipedia.org/wiki/Eigenvalues_and_eigenvectors#Left_and_right_eigenvectors )是行向量，因此它是 vl 列的共轭转置这实际上是左特征向量。