quaternions - 在四元数归一化期间保持旋转

Question

我一直在为即将到来的项目研究四元数，但遇到了一个我无法解决的概念问题。

归一化四元数的方法如下:

q_mag = sqrt(q0^2+q1^2+q2^2+q3^2)
q0 = q0/q_mag  
q1 = q1/q_mag   
q2 = q2/q_mag  
q3 = q3/q_mag

直截了当，就像标准化任何其他向量一样。但我的问题是这种归一化方法如何保留相同的旋转信息。使用表示轴角表示的四元数的定义，如下所示，

angle = 2 * acos(q0)
x = qx / sqrt(1-q0*q0)
y = qy / sqrt(1-q0*q0)
z = qz / sqrt(1-q0*q0)

由于归一化操作对 x、y、z 值进行同等缩放，因此您旋转的轴永远不会改变。但是角度本身的值随着归一化操作而急剧变化。

那么使用保留 q0 的值并仅调整其他点以达到归一化的方法不是更有意义吗？

Answer 1

数学答案:单位四元数表示 3D 空间中的旋转。任何其他(即:非单位)四元数不代表旋转，因此公式angle = 2 * acos(q0) 不适用于这些四元数。所以归一化时角度没有变化，因为你要归一化的四元数一开始并不代表旋转。

编程答案:浮点运算存在精度问题。这些问题会导致小错误，如果累积起来可能会变成大错误。当两个单位四元数相乘时，数学结果是另一个单位四元数。然而，单位四元数乘法的浮点实现可能会产生范数接近 1 但不等于 1 的四元数。在这种情况下，我们将对四元数进行归一化以纠正错误。当我们归一化时，我们将 q0 除以非常接近 1 的范数，因此 q0 的值没有重大变化。因为我们提前归一化，范数总是非常接近 1，我们不需要担心精度。

迟到的答案，但我希望它有所帮助。