isabelle - 在 Isabelle 中定义常量之间的函数

Question

我是一名刚开始习惯 Isabelle 的数学家，而本应非常简单的事情却令人沮丧。如何定义两个常量之间的函数？比如说，函数 f: {1,2,3}\to {1,2,4} 映射 1 到 1、2 到 4 和 3 到 2？

我想我设法将集合定义为常量 t1 和 t2 ，但(我猜因为它们不是数据类型)我不能尝试类似的东西

    definition f ::"t1 => t2" where 
"f 1 = 1" |
"f 2 = 4" | 
"f 3 = 2"

我相信这个困难背后一定有一个根本的误解，所以我感谢任何指导。

Answer 1

你的问题有很多方面。

首先，为了让某些事情快速运行，请使用 fun关键字而不是 definition ，像这样:

fun test :: "nat ⇒ nat" where
  "test (Suc 0) = 1" |
  "test (Suc (Suc 0)) = 4" |
  "test (Suc (Suc (Suc 0))) = 2" |
  "test _ = undefined"

您不能使用 definition 直接在定义的头部对任何参数进行模式匹配。关键字，而您可以使用 fun .另请注意，我已将重载的数字文字(1、2、3 等)替换为 nat 的构造函数。模式匹配中的数据类型( 0 和 Suc )。

另一种选择是坚持使用 definition ，但使用 case 将函数参数的大小写分析推送到定义主体内声明，像这样:

definition test2 :: "nat ⇒ nat" where
  "test2 x ≡
     case x of
       (Suc 0) ⇒ 1
     | (Suc (Suc 0)) ⇒ 4
     | (Suc (Suc (Suc 0))) ⇒ 2
     | _ ⇒ undefined"

请注意像 test2 这样的定义默认情况下，简化器不会展开，您需要手动添加定理 test2_def如果要扩展 test2 的出现次数，请转到简化程序的 simpset在一个证明中。

您还可以使用 typedef 定义与您的两个三元素集相对应的新类型(您不能直接使用集合作为类型，就像您尝试做的那样) ，但我个人会坚持使用 nat .

编辑:使用 typedef ，做这样的事情:

typedef t1 = "{x::nat. x = 1 ∨ x = 2 ∨ x = 3}"
  by auto

definition test :: "t1 ⇒ t1" where
  "test x ≡
     case (Rep_t1 x) of
     | Suc 0 ⇒ Abs_t1 1
     | Suc (Suc 0) ⇒ Abs_t1 4
     | Suc (Suc (Suc 0)) ⇒ Abs_t1 2"

不过，我真的从不使用 typedef我自己，所以这可能不是使用它的最佳方式，其他人可能会建议其他方式。什么 typedef do 是通过为新类型识别一组非空的居民，从现有类型中开辟出一种新类型。证明义务，这里由 auto 关闭, 只是为了证明新类型的定义集确实是非空的，在这种情况下，我将自然数的三元素集雕刻成一个新类型，称为 t1 ，所以证明相当简单。创建了两个新常量， Abs_t1和 Rep_t1这允许您在自然和新类型之间来回移动。如果您输入 print_theorems后 typedef命令你会看到几个关于 t1 的新定理Isabelle 为您自动生成的。