python - Python 中 2D 平面中的点的透视变换

Question

我有以下图像，其中牛舍的四个角是 -[(x1,y1), (x2,y2), (x3,y3), (x4,y4)]。捕获图像的相机位于 (x1,y1) 和 (x4,y4) 的中间。由于(x3,y3)和(x2,y2)距离相机较远，所以图像中x1-x4不等于x2-x3。

我需要将外壳重新投影到一个二维矩形平面，其角为 [(x1,y1), (x2,y2), (x3,y3), (x4,y4)]，并且不太可能是原始图像，这个新的平面将有 x1-x4 = x2-x3。有没有可行的选择来做到这一点？ OpenCV自带透视变换函数，只能应用于图像。但是，在这种情况下，我将在原始平面上有一些牛的 x,y 位置，需要将其转换并绘制到矩形 2d 平面中以显示牛的位置。

Answer 1

这个问题与其说是编程问题，不如说是线性代数问题。您在一个简单的四边形上进行了线性变换。数学更简单，因为有两条边与图像的边缘平行。

首先，我们需要重新定义一些符号:例如，您使用 (x2, y2) 来引用发布图像上的两个点，和指向图像的所需位置变换后图像的左上角。我将通过将变换后的点声明为 A = (x1, y2) 和 B = (x4, y3) 来简化这一点:我们水平拉伸(stretch)梯形的顶部以形成矩形。

另请注意，从一开始就有 y1=y4 和 y2=y3；这简化了计算。想象新旧图像重叠，内部有一个问题点Q，其坐标标记在边界上。我们需要找到“拉伸(stretch)”后 Q 变换点 R 的一般方程。

我还标记了原始图像的中位数，MN。该线上的点在拉伸(stretch)过程中不会移动。附带说明一下，沿底部边缘 1-4 的点不会移动。 2-3 外边缘上的点移动最多。令 C 为边 1-2 上的点，其 y 坐标与 Q 相同(以及稍后的 R);设D为MN上的对应点。

A-----2-----M-----3---B
|                     |
Qy  CR  Q  D          |
|                     |
|                     |
1----Rx-Qx-N----------4

我们只需要按比例计算所选点的移动量。求MN和1-2的方程是众所周知的(两点公式)。将 Qy 代入每个方程即可获得 Cx 和 Dx。

将 CD 转换为 (x1, Qy) D 时的“拉伸(stretch)”因子是它们的长度之比:(Dx-x1)/( Dx-Cx)。 Q 将根据其距 D 左侧的距离向左移动该拉伸(stretch)因子的比例:(Dx-Qx)/(Dx-x1)。将它们相乘即可得到 Q 移动的距离。从 Qx 中减去该金额即可得到 Rx。

是的，现在最终的组合方程中有几个常数:x1、x2、x3、x4、y1、y2。您还有变量 Qx 和 Qy。这是应该的。这给您留下了一个通用方程，可以将图像中的任何点的 Qx => Rx 转换为 Qx => Rx。

如果您也打算垂直拉伸(stretch)，则相同的比例将适用于垂直方向。我建议你一次做一个拉伸(stretch)运动；这将使数学保持模块化:更容易在不同的阶段进行检查和调试。

这会让你感动吗？

D 不会移动；