python - 使用 python 将 "multimodal"对数正态分布拟合到数据

Question

我在实验室使用仪器测量了以下数据。由于仪器根据直径将不同尺寸的颗粒收集到容器中，因此测量结果本质上是“分级”的:

import numpy as np
import matplotlib.pylab as plt
from lmfit import models

y = np.array([196, 486, 968, 2262, 3321, 4203, 15072, 46789, 95201, 303494, 421484, 327507, 138931, 27973])
bins = np.array([0.0150, 0.0306, 0.0548, 0.0944, 0.1540, 0.2560, 0.3830, 0.6050, 0.9510, 1.6400, 2.4800, 3.6700, 5.3800, 9.9100, 15])

bin_width=np.diff(bins)
x_plot = np.add(bins[:-1],np.divide(bin_width,2))
x=x_plot
y=y

此处绘制的是数据的外观。在 x 尺度单位中，有一种模式约为 0.1，另一种模式约为 2。

在这个研究领域内，通常将“多模态”对数正态分布拟合到此类数据:鉴于此，我使用 LMFIT 拟合了 2 附近的众数:

model = models.LognormalModel()
params = model.make_params(center=1.5, sigma=0.6, amplitude=2214337)

result = model.fit(y, params, x=x)
print(result.fit_report())

plt.plot(x, y, label='data')
plt.plot(x, result.best_fit, label='fit')
plt.xscale("log")
plt.yscale("log")
plt.legend()
plt.show()

正如预期的那样，这会很好地拟合 2 左右的第二模式。我的问题是，我该如何拟合 0.1 左右的第二模式(本质上，两种模式的总和应该适合数据)？我意识到也可以说三种模式会更好，但我认为一旦我了解了如何使用两种模式，添加第三种模式应该是微不足道的。

Answer 1

lmfit.Models 可以添加在一起，如下所示:

model = (models.LognormalModel(prefix='p1_') +
         models.LognormalModel(prefix='p2_') +
         models.LognormalModel(prefix='p3_') )

params = model.make_params(p1_center=0.3, p1_sigma=0.2, p1_amplitude=1e4,
                           p2_center=1.0, p2_sigma=0.4, p2_amplitude=1e6,
                           p3_center=1.5, p3_sigma=0.6, p3_amplitude=2e7)

在复合模型中，模型的每个组件都有自己的“前缀”(任何字符串)，该前缀位于参数名称前面。拟合后您可以获得模型组件的字典:

components = result.eval_components()
# {'p1_': Array, 'p2_': Array, 'p3_': Array}
for compname, comp in components.keys():
    plt.plot(x, comp, label=compname)

为了拟合在半对数或双对数图上表示的数据，您可以考虑将模型拟合到 log(y)。否则，在 y 值非常低时，拟合对失拟合不会非常敏感。

请注意，lmfit 模型和参数支持边界。您可能想要或发现需要放置诸如

params['p1_amplitude'].min = 0
params['p1_sigma'].min = 0
params['p1_center'].max = 0.5
params['p3_center'].min = 1.0