python - Scipy null_space 没有给我正确的答案

Question

我在使用 Scipy null_space 时遇到问题。举个例子:

A = np.array([[7,3,2],[3,9,4],[2,4,5]])
eigen = np.linalg.eig(A)

输出特征=

(array([13.477,  5.   ,  2.523]), 
array([[ 0.486,  0.873, -0.041],
       [ 0.74 , -0.436, -0.511],
       [ 0.464, -0.218,  0.858]]))

我在特征值元组中有特征值和特征向量。现在如果e是 A 的特征值(例如 13.477)，显然是零空间 A - e I但是，不应为空:

null = la.null_space(A-eigen[0][0]*np.eye(3))

返回

array([], shape=(3, 0), dtype=complex128)

这应该是对应于 eigen[0][0] 的特征向量(请注意，当我为 eigen[0][1] 和 eigen[0][2] 运行相同的代码时，它会正确返回我们上面看到的特征向量)。为了检查这一点，我要求 (A-eI) 的特征值和特征向量:

null_eigen = np.linalg.eig(A-eigen[0][0]*np.eye(3))

输出为 null_eigen =

(array([-1.243e-14, -8.477e+00, -1.095e+01]), 
 array([[ 0.486,  0.873, -0.041],
        [ 0.74 , -0.436, -0.511],
        [ 0.464, -0.218,  0.858]]))

显然，对应于特征向量 13.477 的第一个特征值“几乎”为零，但为什么 scipy.linalg.null_space 没有拾取它？

Answer 1

来自 null_space 的文档,

rcond : Relative condition number. Singular values s smaller than rcond * max(s) are considered zero. Default: floating point eps * max(M,N).

因此 rcond 确定有效的零空间。 float 学并不精确，因此对于特征值来说，这恰好滑到了阈值之上。对 rcond 使用更大的数字将得到预期的结果:

import numpy as np
from scipy.linalg import null_space

A = np.array([[7, 3, 2],
              [3, 9, 4],
              [2, 4, 5]])
eigen = np.linalg.eig(A)
print(eigen[1][:, 0])
print(null_space(A - eigen[0][0]*np.eye(3), rcond=1e-14))

输出:

[0.48622704 0.74041411 0.46407996]
[[-0.48622704]
 [-0.74041411]
 [-0.46407996]]

更多详情您还可以查看at the source code .