javascript - 曲线公式(javascript 中的代数)

Question

我需要一个具有以下参数的指数方程:

当 x = 0 时，y = 153。
当 x = 500 时，y = 53。
当 X 接近 0 时，Y 应呈指数增长，当 X 接近 500 时，Y 应呈指数下降。

出于某种原因，我不记得该怎么做。我确信一旦我看到方程式(或类似的方程式)，我就能算出剩下的内容。

编程中的上下文:这是一个 Javascript 函数，当文本区域的最大长度即将达到时，该函数会更改 div 的颜色。非常欢迎其他替代方案或代码片段。

更新:我不知道为什么，但 -1500/(x+15)+153 给了我一些接近我正在寻找的东西。所以看来我所要求的并不是我真正想要的。

我想我正在寻找的是:
当 x = 0 时，y = 53。
当 x = 500 时，y = 153。

Answer 1

编辑(更新后):

通过您的更改，您需要一个升序函数和类似于 y = 1/x 的函数。

可以更改函数的比例以适合您的精确坐标，尽管曲线在开始时倾斜得更陡。

y = 154 - 10100 / (20 * x + 100) @ Wolfram Alpha
Plot of 154 - 10100 / (20 * x + 100) from x=0 to x=500 @ Wolfram Alpha

注意整数解，我们利用解 x=96、y=149 来更改公式，将这些值缩放到您的坐标范围内。这将使我们更接近您更新后的曲线，并且倾斜得更平缓一些。

y = 158 - 2625 / (x + 25) @ Wolfram Alpha
Plot of 158 - 2625 / (x + 25) from x=0 to x=500 @ Wolfram Alpha

这是您的版本的绘图，以供比较。

y = -1500 / (x + 15) + 153 @ Wolfram Alpha

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原始答案(更新之前)

我认为，如果您使用非线性比例，您会看到一些奇怪的趋向于目标颜色的收敛，但尽管如此，您可以使用通用公式并决定哪些多项式或指数可以为您提供最佳结果。

首先，代数/多项式函数。

A * X ^ N + B = Y

这个一般公式可以在系统中求解，得到一个 N 阶多项式，拟合两个已知点之间的曲线。在本例中，我们将 求解为 。

代入第一个坐标对，我们很容易得到B。

A * (0) ^ N + B = (153)
0 + B = (153)
B = 153

现在，替换第二对，我们可以找到 A。

A * (500) ^ N + 153 = (53)
A * (500) ^ N = -100
A = -100 / (500 ^ N)

如果您想要线性比例，您可以替换 N = 1，这样我们就可以得到 A = -0.20 。

-0.20 * X + 153 = Y

如果您想要二次标度，则替换 N = 2，这样我们就得到 A = -0.0004 。

-0.0004 * X ^ 2 + 153 = Y

您还可以为 N 使用一些非整数值，介于 1 和 2 之间(尝试 1.5 或 1.6)，我认为这可能会给您带来更好的结果。另请注意，随着此函数的增加，它最终会降至零以下，但只有在曲线经过第二个点之后。

这是指数函数。我在这里使用 e 作为基数，尽管您可以将其更改为任何大于 1 的值。为了拟合两点之间的曲线，如果两个点的 Y 值均大于零，我们将获得最佳结果。否则，我们必须添加偏移量并确定基线的位置。出于此处的目的，我们假设基线为 Y = 0。这意味着随着 X 的增加，Y 在通过第二个点后最终会逐渐接近 0，但实际上不会达到 0。

A * e ^ (B * X) = Y

再次求解第一个坐标。

A * e ^ (B * 0) = 153
A * e ^ (0) = 153
A * 1 = 153
A = 153

代入得到 B 和第二个坐标。

153 * e ^ (B * 500) = 53
e ^ (B * 500) = 53 / 153
B * 500 = ln(53 / 153)
B = ln(53 / 153) / 500

ln(val) 是 e ^ val 的倒数自然对数。我的计算器显示 B 大约等于 -0.0021202920156806272577911119053782，或者简而言之，也许 -0.0021 效果最好。如果您想解决其他指数底数的问题，请以相同的方式使用指数/对数恒等式来解决任何其他底数，并将对数的底数更改为 ln() [js 中的 log()] 或 log() [js 中的 log()/Math.log10e]。