python - 使用 python 在有限定义区间上数值求解非线性方程组

Question

假设存在以下问题:我必须函数，其中之一由 t 参数化，并且两者都在自变量 z 上定义:f(t, z, *ags), g(z, *args)。

我想找到一对值 (t0, z0) 以便

函数及其关于 z 的导数是相同的f(t0, z0, *args) = g(z0, *args)和df/dz(t0, z0, *args) = dg/dz(z0, *args)。

我知道存在一个解决方案，并且我得到了一个合理的起点(tS，zS)。但是，至少其中一个函数仅在指定的区间 [zL .. zH] 上定义(我知道)。

我现在的问题是，这是在 python 中数值求解方程组的最佳方法。

我尝试了 scipys fsolve，但它似乎失败了，我认为是因为它无法处理有限的定义间隔。我尝试了 Differential_evolution 包，只是为了最小化复合函数，但这似乎完全是多余的。

我有所有函数及其导数的表达式(尽管它们很复杂)。

肯定有一个简单的Python寻根器，它能够求解两个非线性方程组，这两个方程仅在有限的区间内定义？!

出于某种原因，我发现的所有内容要么能够求解方程组，而不考虑限制，要么能够接受限制，但一次只能求解一个方程......

如果有人能指出我正确的方向，我将非常感激!

Answer 1

此问题需要假设 1) 存在多个解，2) 至少有一个解位于指定区间的范围内。如果不满足这些假设，您的问题就变成了优化——最小化函数之间的差异。

我生成了以下满足假设的示例:

import numpy as np
from scipy.optimize import fsolve

def f(t,z):
    return t**2 + z + z**2 + np.sin(z)
def g(z):
    return z**2
def dfdz(t,z):
    return 1 + 2*z + np.cos(z)
def dgdz(z):
    return 2*z

def solve(x):
    t,z = x

    #residual array
    r = np.zeros(2)
    #match equations
    r[0] = (f(t,z) - g(z))**2
    #match derivatives
    r[1] = dfdz(t,z) - dgdz(z)

    return r

x0 = [10,-10]
x = fsolve(solve,x0)
t,z = x
print(t,z)

在这些初始条件下，答案是[3.06998012761 -9.42477800292]。通过在超出范围时添加残差，可以使用 fsolve 来要求有界变量。这是一个相当老套的解决方案，不是很健壮。我们可以通过以下修改将 z 绑定(bind)到 [-5,0] 的范围(其中有另一个正确答案):

def solve(x,zL,zH):
    t,z = x

    #penalize deviation from range
    if z < zL:
        e = z - zL
    elif z > zH:
        e = z - zH
    else:
        e = 0

    #residual array
    r = np.zeros(2)
    #match equations
    r[0] = (f(t,z) - g(z))**2 + (e)**2
    #match derivatives
    r[1] = dfdz(t,z) - dgdz(z)

    return r


x0 = [10,-10]
x = fsolve(solve,x0,args=(-5,0))
t,z = x
print(t,z)

新答案是[1.77245385 -3.14159263]。

如前所述，有界变量在优化问题中更常见，因此优化包可以更直观地处理它。在 python 中，有标准的 scipy.optimize.minimize，或更强大的包，例如 Pyomo或GEKKO 。这是 GEKKO 中的等效问题:

from gekko import GEKKO

#initialize a GEKKO model
m = GEKKO()

#add GEKKO variables
t = m.Var(value = -10)
z = m.Var(value = -10, lb=-5, ub=0)

#define the constraints
m.Equation(t**2 + z + z**2 + m.sin(z) == z**2)
m.Equation(1 + 2*z + m.cos(z) == 2*z)

#solve a system of non-dynamic equations
m.options.IMODE = 1 
m.solve(disp=False)

print(t.value,z.value)

[-1.772454] [-3.142608]