c - 分配给 double 据类型的位数

Question

64位中有多少位分配给double的整数部分和小数部分。还是有任何指定规则？

Answer 1

注意：我知道我已经回复了评论。这对我和OP都是有益的。尝试解释时，我总是会学到一些新东西。

浮点值（不考虑精度）如下所示：

    sign * significand * βexp 

其中 sign是1或-1， β是基数， exp是整数指数， significand是小数。在这种情况下， β是 2。例如，实数值 3.0可以表示为 1.102 * 21或 0.112 * 22甚至 0.0112 * 23。

请记住，二进制数是2的幂的和，幂从左开始递减。例如， 1012等效于 1 * 22 + 0 * 21 + 1 * 20，这为我们提供了值 5。您可以使用2的负幂将其扩展到基数点之外，因此 101.112等效于

1 * 22 + 0 * 21 + 1 * 20 + 1 * 2-1 + 1 * 2-2

这为我们提供了十进制值 5.75。浮点数已规范化，因此在小数点之前只有一个非零数字，因此，我们将其写为 5.75而不是将 101.112写为 1.01112 * 22

如何以32位或64位二进制格式编码？确切的格式取决于平台。大多数现代平台都使用IEEE-754规范（该规范还指定了浮点算法的算法以及无穷大和非数字（NaN）的特殊值），但是某些较旧的平台可能会使用其专有的格式（例如VAX G和H扩展精度浮点数）。我认为x86还具有用于中间计算的专有80位格式。

总体布局如下所示：

seeeeeeee...ffffffff....

其中， s表示符号位， e表示专用于指数的位， f表示专用于有效位数或小数的位。 IEEE-754 32位单精度布局为

seeeeeeeefffffffffffffffffffffff

这为我们提供了一个8位指数（可以表示值 -126到 127）和一个22位有效数（大约为6至7个有效十进制数字）。符号位中的 0表示正值， 1表示负值。对指数进行编码，以使 000000012表示 -126， 011111112表示 0，并且 111111102表示 127（ 000000002 保留用于表示 0和“非规格化”数字，而 保留用于表示无穷大和NaN。此格式还假定隐藏的前导分数位始终设置为 111111112。因此，我们表示为 1的值 5.75将以32位单精度浮点数编码为

01000000101110000000000000000000
||      ||                     |
||      |+----------+----------+
||      |           |
|+--+---+           +------------ significand (1.0111, hidden leading bit)
|   |
|   +---------------------------- exponent (2)
+-------------------------------- sign (0, positive)

IEEE-754双精度浮点数将11位用于指数（ 1.01112 * 22至 -1022），并将52位用于有效位数。我不会费心把它写出来（这篇文章已经变成了小说）。

由于指数的原因，浮点数的范围比整数大。指数 1023仅需要8位进行编码，但是 127表示38位十进制数字。指数中的位数越多，可以表示的值范围就越大。精度（有效位数）由有效位数决定。有效位数越多，可以表示的位数就越多。

大多数实数值不能完全表示为浮点数；您不能将无限数量的值压缩为有限数量的位。因此，可表示的浮点值之间存在间隙，并且大多数值都是近似值。为了说明这个问题，让我们看一下8位的“四分之一精度”格式：

seeeefff

这为我们提供了 2127和 -7之间的指数（我们不必担心无穷大和NaN之类的特殊值）以及带有隐藏前导位的3位有效数字。指数越大，可表示值之间的差距就越大。这是显示问题的表格。左列是有效位数；每增加一列，就可以表示给定指数的值：

sig    -1        0        1        2        3        4        5
---    ----      -----    -----    -----    -----    -----    ----
000    0.5       1        2        4         8       16       32
001    0.5625    1.125    2.25     4.5       9       18       36
010    0.625     1.25     2.5      5        10       20       40
011    0.6875    1.375    2.75     5.5      11       22       44
100    0.75      1.5      3        6        12       24       48
101    0.8125    1.625    3.25     6.5      13       26       52
110    0.875     1.75     3.5      7        14       28       56
111    0.9375    1.875    3.75     7.5      15       30       60

请注意，随着我们朝着更大的值前进，可表示值之间的差距也越来越大。我们可以表示 8和 0.5之间的8个值，​​每个之间的间隔为 1.0。我们可以表示 0.0625和 1.0之间的8个值，​​每个之间的间隔为 2.0。我们可以表示 0.125和 2.0之间的8个值，​​每个之间的间隔为 4.0。等等。请注意，我们可以表示直到 0.25的所有正整数，但是不能以这种格式表示值 16。我们根本没有足够的有效位数来做到这一点。如果以这种格式添加值 17和 8，将得到 9作为结果，这是舍入错误。如果将该结果用于其他任何计算，则舍入误差将变得复杂。

请注意，无论有效位数中有多少位，都无法精确表示某些值。就像 16给我们无终止的小数部分 1/3一样， 0.333333...给我们无终止的小数部分 1/10。我们将需要无数个有效位数来表示该值。