c - 矩形矩阵复杂度

Question

我必须计算在矩形矩阵中搜索元素的算法的复杂性。它使用分而治之的方法。对于方阵，我的时间函数变为 a*T(n/b)+O(n^2)。但对于矩形矩阵，如果它必须分为 4 个子矩阵，我不知道如何表示除法。会是 a*T(m*n/4) + O(n) 吗？

Answer 1

您没有描述您的算法，因此无法准确回答问题。但我会尝试假设算法如下:

1. 如果m = 1或n = 1，则在O(m * n)时间内处理矩阵。
2. Else (m > 1 和 n > 1) 将矩阵划分为四个大小不大于 [m/2]x[n/2 ]，其中 [y] 是不小于 y 的最小整数。
3. 使用每个矩阵调用算法。然后“合并”的结果是 O(m * n) 时间。

在这种情况下，时间复杂度的递归方程为

1. T(1, n) = O(n)
2. T(m, 1) = O(m)
3. T(m, n) = 4 * T([m/2], [n/2]) + O(m * n)

让我们来解决这个问题

T(m, n) = O(m * n) +
          4 * O([m / 2] * [n / 2]) +
          4 ^ 2 * O([m / 4] * [n / 4]) +
          ... +
          4 ^ L * O([m / 2 ^ L] * [n / 2 ^ L]),  where L = [log(min(m, n))]
T(m, n) = O(m * n + ... + 4 ^ L * [m / 2 ^ L] * [n / 2 ^ L]) =
        = O(m * n + ... + 2 ^ L * [m / 2 ^ L] * 2 ^ L * [n / 2 ^ L] =
        = O(m * n + ... + m * n  (L times)) =
        = O(L * m * n) = O(m * n * [log(min(m, n))])

所以你的问题的答案是

T(m, n) = O(m * n * [log(min(m, n))])，其中 log 代表二进制对数，[y] 代表ceil 函数。