C，使用 sqrt 和 math.h 时出现编译问题

Question

对于一个类，我需要提交一个使用 math.h 的 sqrt 方法的文件。由于某种原因，除非我使用 -lm 标志将程序链接到我的文件，否则它无法正确编译。该类将在不使用 -lm 标志的情况下编译我的代码，因此我想知道是否有办法在不使用 -lm 标志的情况下完成这项工作。

谢谢

Answer 1

使用 math.h 求数字的平方根有多种方法。有迭代方法，例如牛顿法(及其所有变体，例如牛顿-拉夫森法等)、泰勒级数近似法等。但是有一些非常快速、非常准确的特定实现可以用于查找可用的平方根(或倒数平方根)。

其中一个实现是 Fast Inverse Square Root归因于约翰·卡马克(John Carmack)(有一些争议)。虽然它以原始形式求倒数平方根，但通过倒数求平方根是微不足道的。

这里有两个函数(一个用于float，一个用于double)，您可以在没有math.h的情况下实现它们。令人惊奇的是，通过使用特定的浮点常数，您可以在通常在 3-5 次迭代内收敛的函数中实现令人印象深刻的精度。尝试一下:

/** John Carmack's, Fast Inverse Square Root (square-root version).
 *  generally converges within 3 iterations
 *  see: https://en.wikipedia.org/wiki/Fast_inverse_square_root
 */
float sqrt_fisr (float x)
{
    float tmp, xhalf = 0.5f * x;
    size_t n_terms = 10;
    union {
        float f;
        int i;
    } u;
    u.f = x;
    u.i = 0x5f3759df - (u.i >> 1);

    u.f *= 1.5f - xhalf * u.f * u.f;
    while (n_terms-- && u.f != (tmp = u.f * (1.5f - xhalf * u.f * u.f)))
        u.f = tmp;

    return 1.0f / u.f;
}

如果需要使用 double 类型，您可以使用以下内容，但注意使用 uint64_t 类型强制使用 64 位整数(在 stdint.h 中找到)，

/** John Carmack's Fast Inverse Square Root (square-root double).
 *  generally converges within 3 iterations
 *  see: https://en.wikipedia.org/wiki/Fast_inverse_square_root
 */
double sqrtd_fisr (double x)
{
    double tmp, xhalf = 0.5d * x;
    size_t n_terms = 10;
    union {
        double d;
        uint64_t i;
    } u;
    u.d = x;
    u.i =  0x5fe6eb50c7b537a9 - (u.i >> 1);

    u.d *= 1.5d - xhalf * u.d * u.d;
    while (n_terms-- && u.d != (tmp = u.d * (1.5d - xhalf * u.d * u.d)))
        u.d = tmp;

    return 1.0d / u.d;
}

注意:上面的union用于允许以整数形式输入“浮点常量”，并提供了一个简单的方法语法上合法使用相同位(float 时为 32，double 时为 64)作为整数或内存中值的浮点表示，而不使用可能违反严格别名规则的强制转换。

维基百科页面中有一些链接讨论了计算中使用的“魔数(Magic Number)”的发展，读起来相当有趣。