c# - 如何计算单个点质量？

Question

我正在使用 C# 2d 软体物理引擎，我需要将质量分配给给定的对象顶点:顶点列表(x、y 位置)、对象的总质量和质心。

质心给定为:

在哪里，

R = center of mass
M = total mass
mj = mass of vertex j
rj = position of vertex j

我需要一种算法，可以在给定 R、M 和 rj 的情况下逼近每个 mj。

编辑:我只是想澄清一下，我知道有无数种解决方案。我正在寻找一种找到一组 mj 的快速算法(这样它们每个都足够接近 mj = M/[顶点数]，并且“足够”被定义为一些小的浮点阈值)。

此外，每个对象将包含大约 5 到 35 个点。

Answer 1

您可以按如下方式计算均匀密集多边形的 CM:从 0..N-1 开始编号 N 个顶点，并循环处理它们，使顶点 N 环绕到顶点 0:

total_area = sum[i=0..N-1]( X(p[i],p[i+1])/2 )
CM = sum[i=0..N-1]( (p[i]+p[i+1])*X(p[i],p[i+1])/6 ) / total_area

   where X(p,q)= p.x*q.y - q.x*p.y  [basically, a 2D cross product]

如果多边形是凸面的，则 CM 将位于多边形内部，因此您可以合理地开始将区域切成三角形，如饼图，CM 位于中心。您应该能够在不改变 CM 的情况下，用三分之一的质量对三角形的每个顶点进行加权——但是，这仍然会在整个多边形的 CM 处留下总质量的三分之一。尽管如此，将质量传递缩放 3/2 应该可以让您在两个“外部”顶点之间拆分每个三角形的质量。结果，

area[i] = X( (p[i]-CM), (p[i+1]-CM) ) / 2
   (this is the area of the triangle between the CM and vertices i and i+1)

mass[i] = (total_mass/total_area) * (area[i-1] + area[i])/2

请注意，这种质量传递在很大程度上是“非物理的”——如果没有别的，如果按字面意思处理，它会把惯性矩搞砸一些猛烈的事情。但是，如果您需要在顶点之间分配质量(例如某种俗气的爆炸)，并且您不想在这样做时破坏 CM，那么这应该可以解决问题。

最后，一些警告:

• 如果您不为此使用实际的 CM，它将无法正常工作
• 在凹面物体上使用它是危险的；你冒着以负质量结束的风险