c - 如何比较两个数学库的实现？

Question

如您所知，C标准库定义了几个标准函数调用，这些调用应由任何兼容的实现来实现，例如Newlib，MUSL，GLIBC ...

例如，如果我针对Linux，则必须在glibc和MUSL之间进行选择，而我的标准是数学库libm的准确性。如何比较例如sin()或cos()的两种可能的实现？

幼稚的方法是使用参考值（例如，来自Matlab）在一组随机生成的输入上测试这两种实现的结果的输出质量，但是还有其他更可靠/正式/结构化/指导的方法来比较/模仿两个？我试图查看是否对此方向进行了任何研究，但是我发现了任何研究，因此希望对任何指示有所帮助。

Answer 1

一些想法：


您可以使用GNU Multiple Precision Arithmetic Library (GnuMP生成良好的参考结果。
可以穷举测试大多数（如果不是全部）单参数单精度（IEEE-754 binary32）例程。 （对于某些macOS三角函数，例如sinf，我们进行了详尽的测试，以验证其是否忠实地返回了四舍五入的结果，这意味着结果是数学值[如果可以表示]或两个相邻值之一[如果不是] ]。然后，在更改实现时，我们将它们进行了比较：如果新实现的结果与旧实现的结果相同，则通过；否则，将使用GnuMP对其进行测试。 ，这导致很少调用GnuMP，因此，如果我没记错的话，我们能够在大约三分钟的时间内全面测试新的例行实现。）
详尽测试多参数或双精度例程是不可行的。
比较实施时，您必须选择一个或多个指标。具有最坏情况下的错误的库很容易证明。可以断定它的界限对任何参数都成立，并且可以用来在后续计算中得出进一步的界限。但是，对于使用大量数据的物理模拟，具有良好平均误差的库可能会产生更好的结果。对于某些应用程序，仅“正常”域中的错误可能是相关的（围绕-2π到+2π的角度），因此减少大自变量（最多约10308）的错误可能是不相关的，因为从未使用过这些自变量。
在一些共同点上，应该测试各种例程。例如，对于三角函数例程，以π的不同分数进行测试。除了数学上有趣之外，这些趋向于在内部实现之间在近似之间切换。还要以可表示但碰巧非常接近π的简单分数的倍数进行大量测试。这是减少参数的最坏情况，如果操作不正确，可能会产生巨大的相对误差。他们需要数论来寻找。以任何形式的分散方法进行测试，甚至没有考虑到这种减少问题的有序方法，都将无法找到这些麻烦的论据，因此很容易将具有大量错误的例程报告为准确。
另一方面，有一些重要的测试要点是没有实现的内部知识就无法知道的。例如，当设计一个正弦例程时，我将使用Remez算法来找到一个极小极大多项式，以使其从–π / 2到+π/ 2（对于这种事情来说相当大，例如）。然后，我将研究参数减少过程中可能发生的算术和舍入错误。有时他们会在该间隔之外产生一点结果。因此，我将返回最小极大多项式生成，并推入一个更大的间隔。我也希望在减少参数方面寻求改进。最后，我将得到保证在一定间隔内产生结果的约简，并得出一个在该间隔内具有一定精度的多项式。为了测试我的例程，您需要了解该间隔的端点，并且必须能够找到一些参数，这些参数的参数归约在这些端点附近产生点，这意味着您必须对我的参数归约的方式有所了解实现-使用多少位，等等。就像上面提到的麻烦的论点一样，使用分散的方法无法找到这些要点。但是，与上述方法不同的是，它们不能从纯粹的数学中找到。您需要有关实施的信息。这几乎使您几乎不可能知道您已经比较了实现中最差的潜在参数。