machine-learning - pytorch如何通过argmax进行反向传播？

Question

我在 pytorch 中使用质心位置上的梯度下降而不是期望最大化来构建 Kmeans。损失是每个点到其最近质心的平方距离之和。为了确定哪个质心最接近每个点，我使用 argmin，它在任何地方都不可微。然而，pytorch 仍然能够反向传播和更新权重(质心位置)，在数据上提供与 sklearn kmeans 类似的性能。

有什么想法是如何工作的，或者我如何在 pytorch 中解决这个问题？ pytorch github 上的讨论表明 argmax 不可微分:https://github.com/pytorch/pytorch/issues/1339 。

下面的示例代码(随机点):

import numpy as np
import torch

num_pts, batch_size, n_dims, num_clusters, lr = 1000, 100, 200, 20, 1e-5

# generate random points
vector = torch.from_numpy(np.random.rand(num_pts, n_dims)).float()

# randomly pick starting centroids
idx = np.random.choice(num_pts, size=num_clusters)
kmean_centroids = vector[idx][:,None,:] # [num_clusters,1,n_dims]
kmean_centroids = torch.tensor(kmean_centroids, requires_grad=True)

for t in range(4001):
    # get batch
    idx = np.random.choice(num_pts, size=batch_size)
    vector_batch = vector[idx]

    distances = vector_batch - kmean_centroids # [num_clusters, #pts, #dims]
    distances = torch.sum(distances**2, dim=2) # [num_clusters, #pts]

    # argmin
    membership = torch.min(distances, 0)[1] # [#pts]

    # cluster distances
    cluster_loss = 0
    for i in range(num_clusters):
        subset = torch.transpose(distances,0,1)[membership==i]
        if len(subset)!=0: # to prevent NaN
            cluster_loss += torch.sum(subset[:,i])

    cluster_loss.backward()
    print(cluster_loss.item())

    with torch.no_grad():
        kmean_centroids -= lr * kmean_centroids.grad
        kmean_centroids.grad.zero_()

Answer 1

正如 alvas 在评论中指出的，argmax 是不可微分的。然而，一旦计算它并将每个数据点分配给一个集群，损失相对于这些集群位置的导数就被明确定义了。这就是您的算法的作用。

为什么它有效？如果您只有一个集群(因此 argmax 操作并不重要)，您的损失函数将是二次的，最小值为数据点的平均值。现在有了多个集群，您可以看到您的损失函数是分段的(在更高维度中考虑体积)二次 - 对于任何一组质心 [C1, C2, C3, ...] 每个数据点是分配给某个质心CN并且损失是局部二次的。该局部性的范围由所有替代质心 [C1', C2', C3', ...] 给出，来自 argmax 的分配保持不变；在此区域内，argmax 可以被视为一个常量，而不是一个函数，因此 loss 的导数是明确定义的。

现在，实际上，您不太可能将 argmax 视为常数，但您仍然可以将天真的“argmax-is-a-constant”导数视为近似指向最小值，因为大多数数据点可能确实属于迭代之间的同一簇。一旦足够接近局部最小值，使得这些点不再改变它们的分配，该过程就可以收敛到最小值。

另一种更理论的看待它的方法是，您正在做期望最大化的近似。通常，您将有“计算分配”步骤(由 argmax 镜像)和“最小化”步骤，该步骤归结为在给定当前分配的情况下查找最小化聚类中心。最小值由 d(loss)/d([C1, C2, ...]) == 0 给出，对于二次损失，通过每个簇内的数据点分析给出。在您的实现中，您正在求解相同的方程，但采用梯度下降步骤。事实上，如果您使用二阶(牛顿)更新方案而不是一阶梯度下降，您将隐式地精确再现基线 EM 方案。