java - Java中的随机可逆矩阵

Question

我在做一个项目，对于这个项目，我需要生成一个方随机可逆矩阵。

我找到了如何生成一个方随机矩阵，但我仍然想确定这是一个可逆矩阵，而不必计算行列式或多次生成这个矩阵，你能给我一个提示吗？

Answer 1

一种方法是生成矩阵的 SVD。那就是你生成“随机”(正方形)正交矩阵 U 和 V，以及一个“随机”对角矩阵 S，然后计算

 M = U*S*V'

请注意，每个矩阵都有一个 SVD

只要 S 的对角线元素都不为 0，M 就是可逆的。许多处理可逆矩阵的例程对矩阵的条件数很敏感；随着条件数变大，错误往往会增加。 M的条件数与S的条件数相同，是S的最大(绝对值)对角线元素除以最小(绝对值)。你可能想要控制它。一种方法是生成 S 的元素在 say [lo,hi] 中统一，然后随机设置符号。

生成“随机”正交矩阵的一种方法是生成“随机”Householder 反射的乘积，即以下形式的矩阵

R_v = 1 - 2*v*v'/(v'*v)

其中 v 是一个“随机” vector 。每个 n x n 正交矩阵都可以写成 n 个 Householder 反射的乘积。所有这些在计算上并不像乍看起来那么严格。由于反射器的特殊形式，编写计算例程很简单

R_u*M and M*R_v'

在 M 中只使用 n 个额外的存储空间并且是 O( n * n)

所以一个方案是

Generate S
Repeat n times
  Generate random non zero vector u 
  Update S to be R_u*S
  Generate random non zero vector v 
  Update S to be S*R_v'