java - 计算指数增长系列中的值之和

Question

(请参阅下面的解决方案)

(潜伏者出现)

我正在使用 BigDecimal/BigInteger 类来处理非常大的数字。

我有一个计算复合增长系列的公式。

对于每个 n，值 = 初始 * (coef ^ n)。

我正在尝试找到一种快速方法来计算 n0 和 n1 之间的值子集的总和。

例如，n0 = 4 且 n1 = 6，

返回:初始 * (coef ^ 4) + 初始 * (coef ^ 5) + 初始 * (coef ^ 6)

我不太了解数学，但也许有一种公式化的方式来表达这一点？

我基本上将所有值相加，通过提高系数将其中一些值聚集成 10 的幂。

据我所知，该函数是准确的。我可以返回一个值

n0 = 1，n1 = 50000，初始 = 100，coef = 1.05 不到一秒。

虽然我可能永远不会使用该函数来处理高于 ~20,000 的值，但很高兴知道是否有更有效的方法来实现这一点。

public static final BigDecimal sum(int n0, int n1, BigDecimal initial, BigDecimal coef) {
    BigDecimal sum = BigDecimal.ZERO;

    int short_cut = 1000000000;

    //Loop for each power of 10
    while (short_cut >= 10) {
        //Check the range of n is greater than the power of 10
        if (n1 - n0 >= short_cut) {
            //Calculate the coefficient * the power of 10
            BigDecimal xCoef = coef.pow(short_cut);

            //Add the first sum of values for n by re-calling the function for n0 to n0 + shortcut - 1
            BigDecimal add = sum(n0, n0 + short_cut - 1, initial, coef);
            sum = sum.add(add);

            //Move n forward by the power of 10
            n0 += short_cut;

            while (n1 - n0 >= short_cut) {
                //While the range is still less than the current power of 10
                //Continue to add the next sum multiplied by the coefficient
                add = add.multiply(xCoef);
                sum = sum.add(add);
                //Move n forward
                n0 += short_cut;
            }

        }
        //Move to the next smallest power of 10
        short_cut /= 10;
    }

    //Finish adding where n is smaller than 10
    for (; n0 <= n1; n0++)
        sum = sum.add(initial.multiply(coef.pow(n0)));
    return sum;
}

下一个问题是计算 n1 的最大值，其中 sum(n0, initial, coef) <= x。

编辑:

public static final BigDecimal sum(int n0, int n1, BigDecimal initial, BigDecimal coef) {
    return initial.multiply(coef.pow(n0).subtract(coef.pow(n1 + 1))).divide(BigDecimal.ONE.subtract(coef));
}

(初始 * coef ^ n0 - coef ^ n1 + 1)/1 - coef

感谢维基百科。

Answer 1

我会写一些算法的想法。

首先让我们简化您的公式:

所以你应该计算:S = a * (c ^ n0) + a * (c ^ (n0+1)) +...+ a * (c ^ n1)其中initial = a和coef = c

令S(n)为以下总和的函数:S(n) = a + a * c + a * (c^2) +...+ a * (c ^ n)

我们将得到S = S(n1)-S(n0-1)

另一方面，S(n) 是 geometric progression 的总和。 ，因此S(n)=a * (1-c^n)/(1-c)。

所以我们会得到S = S(n1)-S(n0-1)=a*(1-c^n1)/(1-c)-a*(1-c^(n0-) 1))/(1-c)=a*(c^(n0-1)-c^n1)/(1-c)。

所以现在我们必须处理计算c^n指数(当然BigDecimal类有pow方法，我们这样做只是为了能够计算算法的复杂度)。以下算法的复杂度为O(log(n)):

function exp(c,n){
    // throw exception when n is not an natural number or 0
    if(n == 0){
        return 1;
    }
    m = exp(c, floor(n/2));
    if (n % 2 == 0){
        return m*m;
    } else{
        return m*m*c;
    }
}

因此，如果我们考虑到代数运算具有 O(1) 复杂度，我们可以得出结论，可以以 O(log(n)) 复杂度计算总和> 复杂性。