java - 给定 3 个 vector 和角度，如何找到第四个 vector ，以便通过所有 vector 形成 2 条线段

Question

我有一个由两个 vector 组成的线段，比方说 v1 和 v2，一个 vector v3 和一个角 a。我如何用 Java 编写一个方法(我也在使用 Apache Commons Math 来表示一个 vector )它给了我一个 vector v4，所以线段 v1-v2 和 v3- v4 有 a 角？ 有无限个 v4 元素，如果我能给那个方法一个大小，这样线段 v3-v4 就有那个大小，那就更好了。 (都是2d空间，角度可以是弧度也可以是度，无所谓)

编辑:正如我所 promise 的那样，我已经包含了我正在尝试解决的问题的图像。我有一个由 2 个 vector 定义的线段(线有点长但没关系)、一个角度和第三个点。我需要绘制第二条线，它与第一条线以 a 角相交。由于 Javafx 中的所有线条(我在这里使用的)都是通过定义两个点来绘制的，所以我需要找到红点(或任何可能的红点)。

编辑:使用 Ali 的回答，我得到了以下方法，它可以满足我的需要:

public Pair<Vector2D, Vector2D> calculateFourthPoint(Vector2D v1, Vector2D v2, Vector2D v3, double angleInDegrees) {
    Vector2D r = v1.subtract(v2);
    double rx = r.getX();
    double ry = r.getY();
    double angle = toRadians(angleInDegrees);

    double a = pow(rx, 2) + pow(ry, 2);
    double b = 2 * sqrt(pow(rx, 2) + pow(ry, 2)) * cos(angle) * rx;
    double c = pow(rx, 2) * pow(cos(angle), 2) + pow(ry, 2) * pow(cos(angle), 2) - pow(ry, 2);
    double discriminant = sqrt(pow(b, 2) - (4 * a * c));

    double sx1 = (-b + discriminant) / (2 * a);
    double sx2 = (-b - discriminant) / (2 * a);

    double sy1 = sqrt(1 - pow(sx1, 2));
    double sy2 = sqrt(1 - pow(sx2, 2));

    Vector2D s1 = new Vector2D(sx1, sy1);
    Vector2D s2 = new Vector2D(sx2, sy2);

    Vector2D v4_1 = v3.subtract(s1);
    Vector2D v4_2 = v3.subtract(s2);

    return new Pair<Vector2D, Vector2D>(v4_1, v4_2);
}

Answer 1

我不知道 Apache Commons Math，所以我正在用伪代码编写。设 vx 和 vy 分别表示 vector v 的 x 和 y 分量.

让 r=v1-v2 和 s=v3-v4。您有 2 个未知数(即 sx 和 sy；以及 v4=v3-s)，因此您需要 2 个方程。这些应该是:

dot_product(r,s)=length(r)*cos a // forces the desired angle

dot_product(s,s)=1 // just sets the length of s to 1

拼起来，上面的等式是:

(1)    rx*sx + ry*sy = sqrt(rx^2+ry^2)*cos a

(2)    sx^2 + sy^2 = 1

第一个方程在sx 和sy 中都是线性的。让我们从第一个等式中消去 sy(假设 ry 不为零)

 sy = (1/ry)*(sqrt(rx^2+ry^2)*cos a - rx*sx)

并将此 sy 代入第二个等式。你在 sy 中得到一个二次方程(我不想在这里写它，因为它很复杂)并且有 2 个解。您可以通过将 sy 值代入(假设 rx 不为零)来获得相应的 sx:

 sx = (1/rx)*(sqrt(rx^2+ry^2)*cos a - ry*sy).

最后，v4=v3-s。 v4 有 2 个解，每个解对应二次方程的一个解。 (退化的情况，例如 r 是一个空 vector ，在我的回答中被忽略了。)