c++ - 如何在高于 2D 的维度上旋转、旋转、螺旋

Question

我在 C++ 中有如下代码:

for(int x = position.x; x < position.x + dimensions.x; ++x)
{
    for(int y = position.y; y < position.y + dimensions.y; ++y)
    {
        glm::vec2 tc = glm::vec2(x,y);
        tc -= spiralPosition;
        float distance = glm::length(tc-position);
        if(distance < spiralRadius)
        {
            float percent = (spiralRadius - distance) / spiralRadius;
            float theta = percent * percent * angle;
            float s = std::sin(theta);
            float c = std::cos(theta);
            tc = glm::vec2(glm::dot(tc,glm::vec2(c,-s)),glm::dot(tc,glm::vec2(s,c)));
        }
        tc += spiralPosition;
        returnValues[x][y] = noise->GetValue(tc);
    }
}

它的作用是生成一个梯度噪声值容器。在这样做的同时，它还会使结果围绕震中螺旋上升，就像旋风一样。它基于此处的代码，结果看起来相同:

http://www.geeks3d.com/20110428/shader-library-swirl-post-processing-filter-in-glsl/

我现在想做的是将其扩展到 3D、4D，基本上是 nD。

我不熟悉三角学，无法理解需要做什么。我认为三维需要切线，但后来我迷失了如何做第四维。

谁能给我指出一些有助于我理解的文章，谷歌并没有真正帮助我(但老实说，我可能使用了不正确的搜索词)。

Answer 1

你的问题被标记为 c++ 但不清楚你使用什么类库进行 n 维 vector 数学运算，所以我将尝试纯粹从数学上回答这个问题，假设你有类来表示 N 维 vector 和 NxN维矩阵(即从 N 维欧氏空间到自身的线性映射)。

概括你的二维代码，计算螺旋映射的算法变成如下:

1. 将螺旋中心平移到原点 ( vector subtraction )。
2. 获取要映射的点与原点的距离(使用 N dimensional euclidean distance )。
3. 根据该距离计算旋转角度(theta = percent * percent * angle;)
4. 通过围绕中心旋转，将以该半径的原点为中心的 N-1 维球体映射到自身。
5. 将原点平移回螺旋线的中心。

第 4 步可能是您遇到困难的地方。在将(旋转)映射推广到 N-1 维球体时，必须牢记 Hairy ball theorem ，其中指出:

There is no nonvanishing continuous tangent vector field on even-dimensional n-spheres.

这意味着，对于奇数维 vector 空间(即偶数维嵌入球体)，在螺旋映射中总会有至少一个可见的不动点，而这无法避免。在您的情况下，由于您使用的是旋转映射，因此将有两个 个固定点，每个固定点位于您选择的旋转轴与 n-1 球相交的位置。

现在，n 维欧氏空间中前两个维度之间的 n 维螺旋映射看起来像(作为 NxN 线性变换矩阵):

    ⎡cos(θ)   −sin(θ)    0     .     0⎤
    ⎢sin(θ)    cos(θ)          .      ⎢
S = ⎢  0          0      1     .     0⎢
    ⎢  .          .      .     .      ⎢
    ⎣  0          0                  1⎦

然后可以在后续的轴对之间组合螺旋变换以获得以下 NxN 线性变换矩阵:

    ⎡cos(θ)   −sin(θ)     0         0                  ⎤
    ⎢sin(θ)    cos(θ)     0         0                  ⎢
    ⎢  0         0      cos(θ)   −sin(θ)               ⎢
S = ⎢  0         0      sin(θ)    cos(θ)               ⎢
    ⎢                                      .           ⎢
    ⎢                                            .     ⎢
    ⎣                                                 1⎦

注意到最后一个单元格中尾随的 1 了吗？当您的 N 维空间的维数为奇数时，就会出现这种情况，并且由于毛球定理，无法免除。

在 3 维中，这变成了围绕 Z 轴的螺旋:

    ⎡cos(θ)   −sin(θ)      0⎤
S = ⎢sin(θ)    cos(θ)      0⎢
    ⎣   0         0        1⎦

因此，如果 O 是螺旋的中心，P 是要变换的点，则整体变换将是:

newP = O + S(P - O)

如果您更喜欢绕不同的轴螺旋，您可以构造一个旋转矩阵 R，将该轴作为 Z 轴，然后整个螺旋矩阵将变为 (R⁻¹ )*S*R。要创建旋转矩阵 R，请参见例如Rotating one 3-vector to another .