c++ - 如何用矩形积分法得出这个百分比误差

Question

我正在复习一些数值积分方法。我遇到了矩形积分法(即欧拉法)。根据我正在阅读的书，实际算法是

代码是不言自明的。作者为这个例子 dxdt=cos(t) 提供了一个初始值 x(0)=0。解析解是x=sin(t)。我们可以在 t=1 处计算误差，实际上作者在下表中提供了它:

问题是，在我下面的代码中，错误是 9.1%，但在上表中，错误实际上是 2.6。我做错了吗？

#include <iostream>
#include <cmath>

int main()
{
    double x(0.0), dxdt, t(0.0), T(0.1), stopTime(1.0);

    for ( ; t <= stopTime; t += T ){
        dxdt = cos(t);
          x += dxdt*T;

          if ( t > 0.9 )
            std::cout << "Time: " << t << "  Error: " << fabs( (x - sin(t)) /sin(t) )*100.0 <<  std::endl;
    }

    return 0;
}

Answer 1

您需要考虑到当 x 更新为 x(t+T) 的近似值时，循环变量 t只会在循环的最后递增，因此在输出期间保留它的值 t。这次失配引入了一个额外的相对误差 abs(sin(t+T)/sin(t)-1) 对于 t=1, T=0.1 大约5.91 %。

您还应该在 t 增量的舍入误差下使循环稳定，方法是计算确切的循环次数或选择步骤之间的不等式中的边界，如

while ( t < stopTime-0.5*T ){
    dxdt = cos(t);
      x += dxdt*T;
      t += T;

    if ( t > stopTime -2.5*T )
        std::cout << "Time: " << t << "  Error: " << fabs( (x - sin(t)) /sin(t) )*100.0 <<  std::endl;

}