c++ - 使用 GMRES 求解带有 Armadillo 的复杂稀疏矩阵

Question

我正在将 MATLAB 程序移植到 C++。 Matlab 能够求解线性系统(复数值、稀疏矩阵)，而我的 C++ 库 armadillo 则不能。

Armadillo 是否能够使用 GMRES 等迭代求解器？不幸的是， Armadillo 的文档非常简洁，包含有关求解器的详细信息。

否则，我可以从 Armadillo 调用LAPACK吗？或者哪个替代 C++ 库提供了强大的线性求解器？

(矩阵非常病态，我也在寻找解决这个问题的其他方法，包括预处理矩阵)

Answer 1

sparse matrix of Armadillo具有专用于解决线性系统的功能，spsolve() .正如文档所指出的，它在配置文件中安装和启用时使用 SuperLU config.hpp的 Armadillo 。否则，它将矩阵转换为密集格式并使用 LAPACK。 LAPACK handle various matrix formats ，主要是密集格式和带格式，但不是像压缩稀疏行这样的通用稀疏格式。

SuperLU实现稀疏矩阵的 LU 分解。它利用额外的置换矩阵来获得稀疏的 L 和 U 因子。但是存在很多替代方案，实现各种策略，例如 MUMPS或 UMFPACK (多边 LU 分解)或 PaStiX或者……Suitesparse的页面告诉 Matlab“反斜杠”使用 UMFPACK 或 CHOLMOD。，可能是 diagram 中的 LU 和 Cholevsky 因式分解.

此外，Eigen library包装了许多求解器。因此，可以根据矩阵属性和用户选择来选择求解器。

看看 Petsc 库:它包装了很多 preconditionners and solvers , 包括GMRES . 参见 this example了解如何填充和求解矩阵。用户可以在运行时选择其求解器和预条件器!在链接的示例中，预条件器设置为 ICC(不完整的 Cholesky)，但求解器 (KSP) 是从选项中设置的。 This web page帮助指定一组起始选项。对于 gmres:

 -ksp_type gmres -ksp_monitor -ksp_monitor_true_residual -ksp_rtol <rtol> -ksp_norm_type unpreconditioned

监视器会告诉您残差减少的速度。 rtol指定(可能预处理的)残差范数的相对减少。 范数类型 unpreconditioned 指定必须计算未预处理残差的范数以测试收敛性。由于您的矩阵是病态的，因此监视真正的未预处理残差可能是一个好主意。否则，如果预处理矩阵恰好是病态的，预处理问题可能得到准确求解，但初始问题的残差可能仍然很大。

参见 this page对于 GMRES 求解器的一些选项(Krylov 方向的数量...)编译程序后，尝试使用 -help 运行，以列出可用选项。