c++ - 多边形面积和多面体体积的精确公式

Question

我想计算随机多边形的面积和随机多面体的体积。谷歌搜索让我想到了曲面 segmentation 和蒙特卡洛方法。然而，我只是对精确计算感兴趣，而不是通过收敛进行近似。有人可能知道确切的公式或有指向描述此类公式的页面的链接吗？

这些公式不需要应用于奇特的多边形或多面体。如果它们适用于简单(非相交边)凸 形状，我已经很满意了。除了顶点坐标列表 [(x1, y1), ..., (xn, yn)] 或 [(x1, y1, z1), ..., (xn, yn, zn)]，可能按特定顺序排列。

我能够阅读 Fortran、C/C++、Python 和 MATLAB。因此，用这些语言中的任何一种编写的算法或用伪代码编写的算法都很受欢迎。

Answer 1

对于简单的多边形，您可以使用格林-黎曼公式，如此处所述:http://www.math.unl.edu/~mbrittenham2/classwk/208s04/inclass/areas_of_polygons.pdf

这相当于对三角形 M_iOM_j 的(代数)面积求和，O 为原点(或任何点)，并且当角 BOA 为正时，三角形 BOA 的代数面积为正。

对于多边形，您可以使用 Ostrogradski 的公式来概括以上内容。见例如。那里:http://en.wikipedia.org/wiki/Polyhedron#Volume

您可以在此处找到对上述体积计算方法的评论:http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.144.3873&rep=rep1&type=pdf