c++ - 物理引擎的数值积分有哪些好的算法？

Question

一段时间以来，我一直在网上寻找物理引擎的集成方法，我正在尝试编写代码来获得乐趣(一定喜欢那里的 Nerd :P)。我找到了 Euler 的方法、RK4 和 Verlet(以及时间校正版本)。我也一直在尝试想出一些我自己的方法。我想知道您是否知道其他任何您认为直观或有用的方法。谢谢。

编辑:感谢您到目前为止的所有帮助。至于澄清:也许我的意思是数字积分。令人惊讶的是，在我所有的研究中，我没有找到我想要做的事情的技术名称!也许描述我的具体问题会使我的问题更清楚。可以说我想模拟一个球在圆形(或球形一旦我实现 3d)重力场中移动。该球将遇到力 vector ，这些力 vector 可用于计算球在该特定刻度上所处的点的相应加速度 vector 。从你的物理课上，你知道速度 = 加速度 * 时间，但我的问题是球在技术上只停留在那个点上一瞬间，在微积分中用 dt 表示。显然，我不能在 C++ 中使用无限小的数字，所以我必须使用瞬时积分方法(我在一些阅读中听到的一个术语，但我可能完全错了)或你认为所谓的数值积分(你可能是对，所以我更改了标题)。

这是我(成功的)尝试实现数值积分的欧拉方法:

    //For console output. Note: I know I could just put "using namespace std;" but I hate doing that.
    #include <iostream>
    using std::cout;
    using std::system;
    using std::endl;

    //Program entry
    int main (void)
    {
        //Variable decleration;
        double time = 0;
        double position = 0;
        double velocity = 0;
        double acceleration = 2;
        double dt = 0.000001; //Here is the "instantanious" change in time I was talking about.
        double count = 0; //I use count to make sure I am only displaying the data at whole numbers.

        //Each irritation of this loop is one tick
        while (true)
        {

            //This next bit is a simplified form of Euler's method. It is what I want to "upgrade"
            velocity += acceleration * dt;
            position += velocity * dt;

            if (count == 1/dt) //"count == 1/dt" will only return true if time is a whole number.
            {

                //Simple output to console
                cout << "Time: " << time << endl;
                cout << "Position: " << position << endl;
                cout << "------------------" << endl;
                system ("pause");

                count = 0; //To reset the counter.

            }

            //Update the counters "count" and "time"
            count++;
            time += dt;

        }
        return 1; //Program exit
    }

因为加速度是恒定的，而且这个微分实际上是可解的(为什么我用它来测试，解是 position = time ^ 2，这是相当准确的，但是如果你让它更复杂一点，例如，使加速度随时间变化，算法会极快地失去准确性。再次感谢!

Answer 1

您有一个二阶微分方程 (ODE) x''=f(x,x',t)。 x 可以是 vector ，x' 和 x'' 是关于时间的一阶和二阶导数。在您的情况下，x 是位置，x' 是速度，x'' 是加速度。通常通过引入 X=x,Y=x' 将此二阶 ODE 转换为一阶 ODE，然后得到

X'=YY'=f(X,Y)

然后您可以使用经典方案来求解 ODE，例如 Runge-Kutta、Dormand-Prince、Adams-Bashforth，...

许多这些方法都在 odeint 中实现这是非常容易使用的。