C++ 线性代数库 Armadillo : how to use eig_pair to get the same result as eig function in Matlab?

Question

我尝试使用 eig_pair 对一对相同大小的一般稠密方阵 A 和 B 进行特征分解，使得 A*eigvec = B*eigvec*diagmat(eigval)，但结果与Matlab 函数 eig。例如:

A= [1,2;3,4]     B=[2,4;5,8]

在 Matlab 中:

[u,v] = eig(A,B)

结果:

u =

 -1.0000   -0.0000

 0.5000   -1.0000

v =

    1.0000         0
         0    0.5000

在 Armadillo 中:

eig_pair(v,u,A,B)

结果:你:

9.9301e-016     -1.0000e+000

1.0000e+000      5.0000e-001

v:

0.5000

1.0000

我的问题是:如何获得与 Matlab 中的结果相匹配的 u 和 v 的值？期待您的回复!!!

Answer 1

特征向量不是唯一的。如果 u 是一个特征向量，那么 m * u 对于所有 m != 0。此外，eig 在 Matlab 中返回特征向量的顺序是任意的。 (我不知道 Armadillo 返回特征向量的顺序。)您可以尝试通过对特征值进行排序来为特征向量创建规范顺序，但如果您有复杂的特征值，那将是有问题的。 (回想一下，实矩阵可以有复特征值。)

因此，(-1.0000, 0.5000)(Matlab 中 u 的第一列)与 ( -1.0000e+000, 5.0000e -001)( Armadillo 中 u 的第二列)。类似地，(-0.0000, -1.0000) 等同于 (9.9301e-016, 1.0000e+000) 当您按 -1 缩放并考虑浮点错误时。请注意，可能存在数值精度错误，这会导致浮点值比较不相等，即使在数学上 数字相等也是如此。

如果您想要特征向量的规范表示，您可以将它们重新调整为范数 1，如果第一个元素的符号为负，则还可以乘以 -1。当然，如果特征向量中的第一个元素接近于 0，这又是一个问题，因为由于数值原因，该值可能刚好在零的错误一侧结束。所以仔细想想，确保最大的元素(归一化后)——而不是第一个——是正数可能更好。