c++ - 绘制贝塞尔曲线的各个部分

Question

我正在编写代码以将四分之一椭圆近似为 Bézier curve .

现在完成后，我在绘制这条曲线的各个部分时遇到了麻烦。我需要一些帮助来选择控制点。

最初，我将控制点的距离与曲线起点的距离之比设为 0.51。

编辑:

pseudo code
import cairo [...]
ctx.moveto(0,y1)
ctx.curveto(0,y1/2,x1/2,0,x1,0)

这将导致从 (0,y1) 到 (x1,0) 的近似椭圆曲线，椭圆中心位于 (x1,y1)。

请注意参数化角度扫描为 pi/2。如果假设我想把它分成更像虚线图案的部分，那我该怎么做呢？例如，从 t = pi/6 到 t = pi/3？如何选择控制点？

Answer 1

要使用单个立方圆弧近似四分之一圆，通常要做的是使中点正好在圆上并使用切线起点和终点方向。

这在任何合理的度量标准中都不是正式的“最佳”近似值，但很容易计算……例如，四分之一圆的魔数(Magic Number)是 0.5522847498。参见 this page一些细节...

要绘制椭圆弧，您可以只拉伸(stretch)圆弧的控制点(再一次不是数学上符合“最佳近似值”的东西)。

通用角度案例

可以使用以下方法计算此定义下通用角度的最佳弧(即贝塞尔曲线的中点位于弧的中间)...

1。对称立方贝塞尔弧的最大高度为 3/4 H 其中 H 是控制点的高度

考虑到如何使用 De Casteljau 算法或 my answer about explicit computation of a bezier curve 计算贝塞尔立方体的中点，这一点应该很清楚。 ;另见下图:

y_mid = ((0+H)/2 + (H+H)/2)/2 = 3/4 H

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2。圆绳中心的角度是底部角度的两倍

请参阅任何初等几何文本以获取证明。

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最后将 L 命名为极值之间的距离，将 S 命名为对称贝塞尔曲线的(未知)控制臂，将 2*alpha 命名为圆的角度我们可以计算出近似值

3。 S = L (2/3) (1-cos(alpha))/(sin(alpha)**2)

这是从上面的等式和一些计算得出的；请参见下图的说明。