c++ - 如何计算插值三角曲面的主曲率？

Question

在 3D 三角形网格中给定 3 个顶点及其法线，我在三角形表面上对它们进行插值。我想计算该表面上每个点的主曲率 k1、k2。

我的代码大致如下所示:

Vertex v1,v2,v3,v12,p,vp; // Vertex is an structure of x,y,z and some operators
v1 = ...;   v2 = ...;   v3 = ...;
Vertex n1,n2,n3,n12,n;//normals
n1 = ...;   n2 = ...;   n3 = ...;
int interLevels = ceil(sqrt(tArea(v1,v2,v3)));
for (float a=0; a<=1;a+=1.0f/interLevels){
    v12 = v1*a+v2*(1-a);
    n12 = n1*a+n2*(1-a);
    for (float b=0; b<=1;b+=1.0f/interLevels){
        p = v12*b+v3*(1-b);
        n = n12*b+n3*(1-b);
        normalize(n);

        Vertex k1,k2;       

    }
}

我们如何计算 k1 和 k2？仅依赖于给定的输入就足够了吗，还是我应该考虑附近的顶点？

Answer 1

至少有两种方法可以解决这个问题

方法一

您可以利用主曲率是 shape operator 的特征值这一事实- 在其两个切 vector 上定义的空间上的线性函数。

程序:

1. compute shape operator:

求两个切 vector 然后计算

你会发现一个矩阵

2. and then the eigenvalues of this matrix are principal curvatures k1, k2

方法二

我们将利用给定点 P 处的曲面 S 的主曲率是方程实域中的根的事实

(EG-F^2)k^2 - (EN-2FM+GL)k + LN-M^2 = 0      (1)

其中 k 是主曲率，系数取自第一和第二基本形式。它们是根据参数方程给出的。为了获得这些根，我们将使用这样一个事实，即我们可以找到矩阵 A 的特征值，而不是从 (1) 计算 k1 和 k2 ，其中 A 定义为

矩阵F1包含第一基本形式的系数

矩阵 F2 包含第二基本形式的系数