math - 为什么十进制数不能用二进制精确表示？

Question

有几个关于浮点表示的问题发布到了 SO。例如，十进制数 0.1 没有精确的二进制表示形式，因此使用 == 运算符将其与另一个 float 进行比较是危险的。我了解浮点表示背后的原理。

我不明白的是，为什么从数学角度来看，小数点右边的数字比左边的数字更“特殊”？

例如，数字 61.0 具有精确的二进制表示形式，因为任何数字的整数部分始终是精确的。但数字 6.10 并不准确。我所做的只是将小数点移动一位，突然之间我就从 Exactopia 变成了 Inexactville。从数学上讲，这两个数字之间不应该有本质区别——它们只是数字。

相比之下，如果我将小数点向另一个方向移动一位以生成数字 610，我仍然处于 Exactopia。我可以继续朝这个方向前进(6100, 610000000, 610000000000000)，它们仍然是准确的，准确的，准确的。但一旦小数超过某个阈值，数字就不再准确。

发生什么事了？

编辑:澄清一下，我想远离有关行业标准表示形式的讨论，例如 IEEE，并坚持我认为的数学“纯粹”方式。以 10 为基数，位置值为:

... 1000  100   10    1   1/10  1/100 ...

在二进制中，它们是:

... 8    4    2    1    1/2  1/4  1/8 ...

这些数字也没有任意限制。位置向左和向右无限增加。

Answer 1

如果有足够的空间，十进制数可以精确表示 - 只是不能用 float 二进制点数表示。如果您使用浮点小数点类型(例如.NET中的System.Decimal)，那么许多无法用二进制浮点精确表示的值都可以精确表示.

让我们以另一种方式看待它 - 在您可能熟悉的 10 进制中，您无法准确地表达 1/3。它是 0.3333333...(重复出现)。不能将 0.1 表示为二进制 float 的原因完全相同。您可以准确地表示 3、9 和 27，但不能表示 1/3、1/9 或 1/27。

问题是 3 是一个质数，它不是 10 的因数。当您想要将一个数乘 3 时，这不是问题:您始终可以乘以一个整数，而无需遇到问题。但是，当您除一个素数且不是基数的因数时，您可能会遇到麻烦(如果您尝试除 1，将会遇到麻烦按这个数字)。

尽管 0.1 通常用作精确十进制数的最简单示例，无法用二进制 float 精确表示，但可以说 0.2 是一个更简单的示例，因为它是 1/5 - 而 5 是导致问题的素数十进制和二进制。

<小时/>

处理有限表示问题的旁注:

一些 float 小数点类型具有固定大小，如 System.Decimal，其他类型如 java.math.BigDecimal 是“任意大” - 但它们会达到限制在某些时候，无论是系统内存还是数组的理论最大大小。然而，这与这个答案的主要观点完全不同。即使您有真正任意数量的位数可供使用，您仍然无法以浮点二进制点表示形式精确地表示十进制 0.1。与相反的方式进行比较:给定任意数量的十进制数字，您可以精确地表示任何可以精确表示为 float 二进制小数点的数字。