python - 二进制转十进制——公式解释

Question

谁能给我解释一下为什么二进制形式的数字:111 是 2^3 - 1？我知道这个数字是按 1*2^0 + 1*2^1 + 1*2^2 计算的，但我看不到如何从这里到 2^3-1 ...看不到任何幂律什么的..

Answer 1

数字 2 的一个独特属性是它之前的幂次之和等于下一个幂次减去 1。

换句话说:

2^n=2^0+2^1+2^2+...+2^(n-1)+1 for n in (1,2,3...)

如果您需要证明，请使用数学归纳法。

基数:n=1； 2^1=2=2^0+1=1+1

假设对于 n=k 属性 2^n=2^0+2^1+...+2^(n-1)+1很满意

对于 n=k+1 你有 2^n=(2^k)*(2^1) 然后应用这个假设你有

2^n=(2^0+2^1+...+2^(n-2)+1)*2 产生

2^n=(2^1+2^2+...+2^(n-1)+2)=1+2^0+2^1+...+2^ (n-1) 结束我们的证明。