python - Metropolis-Hastings 接受-拒绝实现

Question

我一直在阅读 Metropolis-Hastings (MH) 算法。从理论上讲，我了解该算法的工作原理。现在，我正在尝试使用 python 实现 MH 算法。

我遇到了以下 notebook .它完全适合我的问题，因为我想通过一条直线来拟合我的数据，同时考虑到我的数据的测量误差。我将粘贴我发现难以理解的代码:

# initial m, b
m,b = 2, 0

# step sizes
mstep, bstep = 0.1, 10.

# how many steps?
nsteps = 10000

chain = []
probs = []
naccept = 0

print 'Running MH for', nsteps, 'steps'

# First point:
L_old    = straight_line_log_likelihood(x, y, sigmay, m, b)
p_old    = straight_line_log_prior(m, b)
prob_old = np.exp(L_old + p_old)

for i in range(nsteps):
    # step
    mnew = m + np.random.normal() * mstep
    bnew = b + np.random.normal() * bstep

    # evaluate probabilities
    # prob_new = straight_line_posterior(x, y, sigmay, mnew, bnew)

    L_new    = straight_line_log_likelihood(x, y, sigmay, mnew, bnew)
    p_new    = straight_line_log_prior(mnew, bnew)
    prob_new = np.exp(L_new + p_new)

    if (prob_new / prob_old > np.random.uniform()):
        # accept
        m = mnew
        b = bnew
        L_old = L_new
        p_old = p_new
        prob_old = prob_new
        naccept += 1
    else:
        # Stay where we are; m,b stay the same, and we append them
        # to the chain below.
        pass

    chain.append((b,m))
    probs.append((L_old,p_old))
print 'Acceptance fraction:', naccept/float(nsteps)

代码简单易懂，但我很难理解 MH 是如何实现的。

我的问题在 chain.append(倒数第三行)中。作者将附加 m 和 b，无论它们是被接受还是被拒绝。为什么？难道他不应该只附加接受的点吗？

Answer 1

以下 R 代码演示了为什么捕获被拒绝的案例很重要:

# 20 samples from 0 or 1. 1 has an 80% probability of being chosen.
the.population <- sample(c(0,1), 20, replace = TRUE, prob=c(0.2, 0.8))

# Create a new sample that only catches changes
the.sample <- c(the.population[1])

# Loop though the.population,
# but only copy the.population to the.sample if the value changes
for( i in 2:length(the.population))
{
  if(the.population[i] != the.population[i-1])
    the.sample <- append(the.sample, the.population[i])
}

这段代码运行时，the.population得到20个值，例如:

0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1

此总体中 1 的概率为 16/20 或 0.8。正是我们预期的概率......

另一方面，仅记录更改的样本如下所示:

0 1 0 1 0 1

样本中出现 1 的概率为 3/6 或 0.5。

我们正在尝试建立一个分布，拒绝新值意味着旧值比新值更有可能性。这需要被捕获，以便我们的分布是正确的。