python - Numpy 计算奇怪的特征向量

Question

我在使用 numpy 计算矩阵的特征向量时得到了一些奇怪的结果。然后我决定使用 Matlab，一切都很好。

L = np.array(([2,-1,-1],[-1,2,-1],[-1,-1,2]))
Lam,U = np.linalg.eig(L) #compute eigenvalues and vectors
#sort by ascending eigenvalues
I = [i[0] for i in sorted(zip(xrange(len(Lam)),Lam),key=lambda x: x[1])] 
Lam = Lam[I]
U = U[:,I]
print U.dot(U.T)

>> [[ 1.09 -0.24  0.15]
   [-0.24  1.15  0.09]
   [ 0.15  0.09  0.76]]

结果很奇怪，因为我期待 U.dot(U.T) = I。在 MATLAB 中:

L = [2,-1,-1;-1,2,-1;-1,-1,2]
[V,D] = eig(L)
V*V'
ans =
    1.0000    0.0000   -0.0000
    0.0000    1.0000    0.0000
    0.0000    0.0000    1.0000

顺便说一下你:

[[-0.58  0.82  0.29]
 [-0.58 -0.41 -0.81]
 [-0.58 -0.41  0.51]]

和 V:

0.5774    0.7634    0.2895
0.5774   -0.6325    0.5164
0.5774   -0.1310   -0.8059

这是怎么回事？

Answer 1

虽然对称矩阵的特征向量确实存在正交基，但不能保证 Numpy 会返回该基。它将返回特征向量的任何基，这种方法没有任何问题。

您正在查看的矩阵有两个特征空间:特征值 3 的二维特征空间和一维核。对于内核，特征向量取决于一个常数因子。然而，对于二维空间，您可以自由选择基，但不能保证它是正交的。

要获得对称矩阵特征向量的标准正交基，您可以使用 numpy.linalg.eigh() .