python zlib - 压缩字符串的大小与香农熵

Question

我试图更好地了解压缩算法(例如 zlib)的输出与理论预期的比较。所以我有几个问题。

(1) 首先，我想检查一下我是否正确计算了压缩率。假设我想压缩 1000 个数组，我可以执行以下操作

# encode the array such that len(s) == 1000 bytes
s = np.ones(1000, dtype='uint8').tostring()

# compress using the python zlib (deflate)
comp_s = zlib.compress(s, 9) 
# giving comp_s = 'x\xdacd\x1c\x05\xa3`\x14\x0cw\x00\x00\xa7e\x03\xe9'

comp_ratio = len(comp_s)/len(s)
# giving 17/1000

因此我的第一个问题是:comp_s编码使其长度对应于字节数？我不太明白这个字符串是如何编码的。如果我这样做 sys.getsizeof(comp_s)我发现它的大小是 54 字节而不是 17 字节？自 getsizeof返回 python 对象的大小，因此它肯定高估了字符串的大小，我假设 sys.getsizeof(s) - sys.getsizeof('') 是否正确？是正确的方法吗？它似乎产生与 len() 相同的结果至少。

(2) 压缩序列的大小应大于(或等于)其香农熵。对于以 50:50 概率出现的 1 和 0 的随机二进制序列，每个数字的信息数为 1 位(根据定义 h = - p log p - (1-p)log(1-p) )。由于真正的随机序列是不可压缩的，如果我生成长度为 n 的随机二进制序列我希望通过添加一个随机数字，得到 n+1长序列在压缩后平均大 1 位。

当我执行以下操作时

rawsize = range(1, 100000, 1000)
compsize = []
for l in rawsize:
    s = np.random.randint(0, 2, l, dtype='uint8').tostring() 
    comp_s = zlib.compress(s, 9)
    # note: I compress again to achieve better compression when l is large
    comp_s = zlib.compress(comp_s, 9)
    compsize.append(len(comp_s))

如果我绘制 compsize / rawsize我发现曲线在 0.155 附近接近一个常数值。意思是(如果我解释正确的话)通过增加一位数字，信息量增加了0.155。 -位。我不明白这一点，因为压缩似乎比理论预期的要好得多。

为了进一步理解这一点，我还比较了 1 和 0 的二进制序列的压缩字符串大小，其中 1 的出现概率为 0<p<1。 .然后，字符串的压缩大小(每个数字)应该跟踪香农熵并且最大 (=1)在p=0.5 .我发现压缩字符串大小(每位)的曲线远低于香农熵，如果我将香农熵乘以 0.155它们大致位于彼此之上。

显然有一些我没有考虑的归一化因素，但我无法弄清楚它的基本原理。我还尝试使用 16 对原始序列进行编码, 32和 64位无符号整数，发现比率 compsize / rawsize大致变成0.176 , 0.2 , 0.23 ，因此看起来通过在 1 和 0 的表示中添加一个字节，我们贡献了大约 0.25。一些额外的信息，这也很好奇。

任何建议都会非常有用!

Answer 1

当调用 np.random.randint(0, 2, l, dtype='uint8').tostring() 时，您获得的不是 0 和 1 的随机序列，而是一个随机序列0 和 1 的 8 位二进制表示序列:10000000 和 00000000。几乎每 8 位有 1 个是随机的，其他 7 个都是 0。我想最佳比例应该是 1/8 左右，再加上一些开销。

事实上，如果使用 np.random.randint(0, 256, 100000, dtype='uint8').tostring()，则 comp_ratio 约为 1。