Python:将数据拟合给定的余弦函数

Question

我只是想简单地找到最适合马吕斯定律的。

I_measured=I_0*(cos(theta)) ^2

当我分散情节时，它显然有效，但使用 def form() 函数时，我得到下面给出的错误。
我用谷歌搜索了这个问题，这似乎不是对余弦函数进行曲线拟合的正确方法。

给定的数据是..

下面代码中的 x_data=x1

[ 0.0, 5.0, 10.0, 15.0, 20.0, 25.0, 30.0, 35.0, 40.0, 45.0, 50.0, 55.0, 
  60.0, 65.0, 70.0, 75.0, 80.0, 85.0, 90.0, 95.0, 100.0, 105.0, 110.0, 115.0, 
  120.0, 125.0, 130.0, 135.0, 140.0, 145.0, 150.0, 155.0, 160.0, 165.0, 
  170.0, 175.0, 180.0, 185.0, 190.0, 195.0, 200.0, 205.0, 210.0, 215.0, 
  220.0, 225.0, 230.0, 235.0, 240.0, 245.0, 250.0, 255.0, 260.0, 265.0, 
  270.0, 275.0, 280.0, 285.0, 290.0, 295.0, 300.0, 305.0, 310.0, 315.0, 
  320.0, 325.0, 330.0, 335.0, 340.0, 345.0, 350.0, 355.0, 360.0]

下面代码中的 y_data = x2

[  1.69000000e-05   2.80000000e-05   4.14000000e-05   5.89000000e-05
 7.97000000e-05   9.79000000e-05   1.23000000e-04   1.47500000e-04
 1.69800000e-04   1.94000000e-04   2.17400000e-04   2.40200000e-04
 2.55400000e-04   2.70500000e-04   2.81900000e-04   2.87600000e-04
 2.91500000e-04   2.90300000e-04   2.83500000e-04   2.76200000e-04
 2.62100000e-04   2.41800000e-04   2.24200000e-04   1.99500000e-04
 1.74100000e-04   1.49300000e-04   1.35600000e-04   1.11500000e-04
 9.00000000e-05   6.87000000e-05   4.98000000e-05   3.19000000e-05
 2.07000000e-05   1.31000000e-05   9.90000000e-06   1.03000000e-05
 1.49000000e-05   2.34000000e-05   3.65000000e-05   5.58000000e-05
 7.56000000e-05   9.65000000e-05   1.19400000e-04   1.46900000e-04
 1.73000000e-04   1.99200000e-04   2.24600000e-04   2.38700000e-04
 2.60700000e-04   2.74800000e-04   2.84000000e-04   2.91200000e-04
 2.93400000e-04   2.90300000e-04   2.86400000e-04   2.77900000e-04
 2.63600000e-04   2.45900000e-04   2.25500000e-04   2.03900000e-04
 1.79100000e-04   1.51800000e-04   1.32400000e-04   1.07000000e-04
 8.39000000e-05   6.20000000e-05   4.41000000e-05   3.01000000e-05
 1.93000000e-05   1.24000000e-05   1.00000000e-05   1.13000000e-05
 1.77000000e-05]

代码

I_0=291,5*10**-6/(pi*0.35**2) # print(I_0) gives (291, 1.2992240252399621e-05)??
def form(theta, I_0):
    return (I_0*(np.abs(np.cos(theta)))**2) # theta is x_data

param=I_0
parame,covariance= optimize.curve_fit(form,x1,x2,I_0)
test=parame*I_0
#print(parame)
#plt.scatter(x1,x2,label='data')
plt.ylim(10**-5,3*10**-4)
plt.plot(x1,form(x1,*parame),'b--',label='fitcurve')

我得到的错误是:

TypeError: form() takes 2 positional arguments but 3 were given`

我从下面显示的另一个代码开始。

    x1=np.radians(np.array(x1))
x2=np.array(x2)*10**-6
print(x1,x2)

def form(theta, I_0, theta0, offset):
    return I_0 * np.cos(np.radians(theta - theta0)) ** 2 + offset

param, covariance = optimize.curve_fit(form, x1, x2)

plt.scatter(x1, x2, label='data')
plt.ylim(0, 3e-4)
plt.xlim(0, 360)
plt.plot(x1, form(x1, *param), 'b-')
plt.ticklabel_format(style='sci', axis='y', scilimits=(0,0))
plt.axes().xaxis.set_major_locator(ticker.MultipleLocator(45))
plt.show()

在新代码中。我用一个数字乘以输入数组。基本上它在第一个代码中仍然是 y_data。当我绘制这个时，我发现该函数根本不适合添加代码 x1 = np.radians(np.array(x1))

Answer 1

逗号

我猜你的 I_0=291,5*10**-6/(pi*0.35**2) 应该是拟合的初始猜测。我不知道为什么要用这么复杂的方式来表达。使用 , 作为小数分隔符在 Python 中是错误的语法，请改用 .。此外，您可以编写 123.4e-5(科学记数法)，而不是像 123.4 * 10 ** -5 这样的东西。

无论如何，事实证明，如果拟合正确，您甚至不需要指定初始猜测。

模型函数

1. 在您的模型函数中，I_measured = I_0 * cos(theta)**2，theta 的单位是弧度(0 到 2π)，但是您的 x 值以度为单位(0 到 360)。

2. 您的模型函数不考虑 x 或 y 值中的任何偏移。您应该在函数中包含此类参数。

改进后的模型函数如下所示:

def form(theta, I_0, theta0, offset):
    return I_0 * np.cos(np.radians(theta - theta0)) ** 2 + offset

(感谢 Martin Evans 指出 np.radians 函数。)

结果

现在 curve_fit 函数能够导出最适合的 I_0、theta0 和 offset 的值模型函数对您的测量数据:

>>> param, covariance = optimize.curve_fit(form, x, y)
>>> print 'I_0: {0:e} / theta_0: {1} degrees / offset: {2:e}'.format(*param)
I_0: -2.827996e-04 / theta_0: -9.17118424279 degrees / offset: 2.926534e-04

情节看起来也不错:

import matplotlib.ticker as ticker

plt.scatter(x, y, label='data')
plt.ylim(0, 3e-4)
plt.xlim(0, 360)
plt.plot(x, form(x, *param), 'b-')
plt.ticklabel_format(style='sci', axis='y', scilimits=(0,0))
plt.axes().xaxis.set_major_locator(ticker.MultipleLocator(45))
plt.show()

(您的 x 值是从 0 到 360，我不知道为什么您将绘图限制设置为 370。此外，我将刻度间隔为 45 度间隔。)

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更新:拟合导致负振幅 I_0 和大约 3e-4 的偏移，接近最大 y 值。您可以通过提供 90 度初始相位偏移来引导拟合达到正振幅和接近零的偏移(“翻转”):

>>> param, covariance = optimize.curve_fit(form, x, y, [3e-4, 90, 0])
>>> print 'I_0: {0:e} / theta_0: {1} degrees / offset: {2:e}'.format(*param)
I_0: 2.827996e-04 / theta_0: 80.8288157578 degrees / offset: 9.853833e-06

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这是 complete code.