python - 为什么 python 在划分 sin() 的结果时会给出很大的错误

Question

我试图为我找到的方程式找到 n 的前十个整数输入的值:x = sin(2π/n)/sin(π/n)。我为找到它们而编写的代码得到的输出非常令人惊讶:

>>> for i in range(1, 11):
        print math.sin(2 * math.pi / i) / math.sin(math.pi / i)

-2.0
1.22464679915e-16
1.0
1.41421356237
1.61803398875
1.73205080757
1.8019377358
1.84775906502
1.87938524157
1.90211303259

我知道会有舍入误差，因此以下结果一点也不让我吃惊:

>>> math.sin(2 * math.pi)
-2.4492935982947064e-16
>>> math.sin(math.pi)
1.2246467991473532e-16

问题是，第一个结果是如何以 -2.0 结束的，我可能希望它返回接近于零的值或错误/nan？

如果你有兴趣知道，这个等式应该给出一条线的长度 (x)，该线在一个点和另一个点之间延伸 2 点，其形状具有 n 个等于 1 的边和所有相等的角(的长度边长为 1 的等边形的最小对角线)。

Answer 1

对于第二个结果，影响绝对值非常小:1.22464679915e-16 是一个非常小的数字，非常接近于零，大约为 0.00000000000000012246

如果您只是想避免这个小错误对结果的显示方式产生重大影响，请使用格式化字符串，例如:

for i in range(1, 11):
    print "{0:.10f}".format(math.sin(2 * math.pi / i) / math.sin(math.pi / i))

输出:

-2.0000000000
0.0000000000
1.0000000000
1.4142135624
1.6180339887
1.7320508076
1.8019377358
1.8477590650
1.8793852416
1.9021130326

how did the first result end up with -2.0, I might expect it to return something close to zero or an error / nan?

第一个结果是i为1的时候，所以简化为:

math.sin(2 * math.pi) / math.sin(math.pi)

由于浮点错误，math.sin(2 * math.pi) 的计算结果为 -2.44921270764e-16，而 math.sin(math .pi) 的计算结果为 1.22460635382e-16。

-2.44921270764e-16/1.22460635382e-16 的浮点除法得到 -2.0，这就是最终输出。

在没有浮点错误的情况下，math.sin(2 * math.pi) 和 math.sin(math.pi) 的计算结果应该为零，但由于浮点实现和 Python sin 函数实现的组合怪癖，第一个的浮点误差是第二个的两倍，而且是负数，所以将它们相除得到 -2。

math.pi * 2 的内部表示中的浮点误差是 math.pi 的两倍，因为当您将具有误差范围的值加倍时，误差margin 也加倍，并且不可能将 pi 表示为没有错误的 float 。推测:该错误通过 sin 计算传播，并且由于 sin 计算中与 pi 到 2 pi 范围内的 sin 函数是 0 到圆周率。

如果要将极小的值四舍五入为零，可以使用 numpy.around舍入到给定的小数位数，例如:

import numpy
for i in range(1, 11):
    print numpy.around(numpy.sin(2 * numpy.pi / i), 15) / numpy.around(numpy.sin(numpy.pi / i), 15)

这会为第一个结果生成一个 nan。