python - 在 Python 中拟合参数曲线

Question

我有 (X,Y) 形式的实验数据和 (x(t;*params),y(t;*params)) 其中 t 是物理(但不可观察)变量，*params 是我要确定的参数。 t是一个连续变量，x和t、y和y之间是1:1的关系t 在模型中。

在一个完美的世界中，我会知道 T 的值(参数的实际值)，并且能够进行极其基本的最小二乘法拟合以找到*参数。 (请注意，我不试图在我的情节中“连接”x 和y 的值，例如 31243002 或 31464345。)我无法保证在我的真实数据中，潜在值 T 是单调的，因为我的数据是跨多个周期收集的。

我在手动进行曲线拟合方面经验不足，而且不得不使用极其粗糙的方法，而且无法轻松访问基本的 scipy 函数。我的基本方法包括:

1. 选择*params的一些值并将其应用于模型
2. 获取一组 t 值并将其放入模型中以创建一个数组 model(*params) = (x(*params),y(*params))
3. 将 X(数据值)插入到 model 中以获得 Y_predicted
4. 在 Y 和 Y_predicted 之间运行最小二乘(或其他)比较
5. 为一组新的*params再做一次
6. 最终，为 *params 选择最佳值

这种方法有几个明显的问题。

1) 我没有足够的编码经验来开发一个非常好的“再做一次”，而不是“尝试解决方案空间中的一切”，也许“在粗略的网格中尝试一切”，然后“再次尝试一切”在粗网格的热点中稍细的网格中。”我尝试使用 MCMC 方法，但我从未找到任何最佳值，主要是因为问题 2

2) 第 2-4 步本身效率极低。

我试过类似的东西(类似伪代码；实际功能是编造的)。关于在 A 和 B 上使用广播，可以提出许多小问题，但这些问题没有需要为每一步进行插值的问题那么重要。

我认识的人推荐使用某种 Expectation Maximization 算法，但我对此了解不多，无法从头开始编写代码。我真的希望有一些很棒的 scipy(或其他开源)算法，我一直没能找到它来解决我的整个问题，但在这一点上我并不抱希望。

import numpy as np
import scipy as sci
from scipy import interpolate

X_data
Y_data

def x(t,A,B):
    return A**t + B**t
def y(t,A,B):
    return A*t + B

def interp(A,B):
    ts = np.arange(-10,10,0.1)
    xs = x(ts,A,B)
    ys = y(ts,A,B)
    f = interpolate.interp1d(xs,ys)
    return f

N = 101
lsqs = np.recarray((N**2),dtype=float)

count = 0
for i in range(0,N):
    A = 0.1*i            #checks A between 0 and 10
    for j in range(0,N):
        B = 10 + 0.1*j   #checks B between 10 and 20

        f = interp(A,B)
        y_fit = f(X_data)
        squares = np.sum((y_fit - Y_data)**2)

        lsqs[count] = (A,b,squares) #puts the values in place for comparison later
        count += 1        #allows us to move to the next cell

i = np.argmin(lsqs[:,2])

A_optimal = lsqs[i][0]
B_optimal = lsqs[i][1]

Answer 1

如果我正确理解了这个问题，参数是每个样本中都相同的常量，但 t 因样本而异。因此，例如，也许您有一大堆您认为是从圆圈中采样的点

x = a+r cos(t)   
y = b+r sin(t)

t 的不同值。

在这种情况下，我要做的是消除变量 t 以获得 x 和 y 之间的关系——在这种情况下, (x-a)^2+(y-b)^2 = r^2。如果您的数据完全符合模型，则每个数据点都有 (x-a)^2+(y-b)^2 = r^2。有一些错误，你仍然可以找到 (a,b,r) 来最小化

sum_i ((x_i-a)^2 + (y_i-b)^2 - r^2)^2。

Mathematica 的 Eliminate在某些情况下，命令可以自动执行消除 t 的过程。

PS 您可能在 stats.stackexchange、math.stackexchange 或 mathoverflow.net 上做得更好。我知道最后一个名声不好，但我们不咬人，真的!