Python稀疏矩阵逆和拉普拉斯计算

Question

我有两个稀疏矩阵 A(亲和矩阵)和 D(对角矩阵)，维度为 100000*100000。我必须计算拉普拉斯矩阵 L = D^(-1/2)*A*D^(-1/2)。我正在为稀疏矩阵使用 scipy CSR 格式。

我没有找到任何求逆稀疏矩阵的方法。如何找到稀疏矩阵的 L 和逆矩阵？还建议使用 python 这样做是否有效，或者我应该调用 matlab 函数来计算 L？

Answer 1

一般来说，稀疏矩阵的逆矩阵并不稀疏，这就是为什么您不会在线性代数库中找到稀疏矩阵逆矩阵的原因。由于 D 是对角线，D^(-1/2) 是微不足道的，因此拉普拉斯矩阵计算是微不足道的。 L 具有与 A 相同的稀疏模式，但每个值 A_{ij} 都乘以 (D_i*D_j)^{-1/2}。

关于逆的问题，标准的做法总是避免计算逆本身。不要计算 L^-1，而是针对未知的 x 重复求解 Lx=b。所有优秀的矩阵求解器都允许您分解代价高昂的 L，然后对 b 的每个值重复进行反向代入(代价低廉)。