python - 带有带状雅可比矩阵的 Scipy odeint

Question

我正在使用 SciPy 的 integrate.odeint 函数集成刚性 ODE 系统。由于集成非常重要且耗时，我还使用了相应的 jacobian。通过重新排列方程，我可以将雅可比矩阵定义为带状矩阵。关注API documentation我想用 mu 和 ml 参数定义形状。不幸的是，文档有点含糊不清，因此我无法弄清楚如何实现我的 jacobian 函数。

为了验证必须如何调用 odeint，我一直在使用以下(有点傻)代码:

from scipy.integrate import odeint
lmax = 5

def f1(y, t):
    ydot = np.zeros(lmax)
    for i in range(lmax):
        ydot[i] = y[i]**2-y[i]**3
    return ydot

def fulljac(y, t,):
    J = np.zeros((lmax, lmax))
    J[0,0]=-3*y[0]**2 + 2*y[0]
    J[1,1]=-3*y[1]**2 + 2*y[1]
    J[2,2]=-3*y[2]**2 + 2*y[2]
    J[3,3]=-3*y[3]**2 + 2*y[3]
    J[4,4]=-3*y[4]**2 + 2*y[4]
    return J

## initial conditions and output times
delta = 0.0001;
yini  = np.array([delta]*lmax)
times = np.linspace(0, 2/delta, 100)

y, infodict = odeint(f1, yini, times, Dfun=fulljac, full_output=1)
print("f1: nst: {0}, nfe: {1}, nje: {2}".format(infodict["nst"][-1],
                                                infodict["nfe"][-1],
                                                infodict["nje"][-1]))

使用完整的 NxN 雅可比矩阵集成成功。仅使用对角线和 mu=0 和 ml=0 积分也成功。

为了测试带状矩阵用例，我使用 mu=1 和 ml=1 创建了一个人工 3xN 带状雅可比矩阵，其中对角线外的所有导数都是零。这会导致求解器出现奇怪的行为(类似于我在原始问题中看到的非对角线不为零的情况)。

def bandjac(y, t):
    J = np.zeros((lmax, 3))
    J[0,1]=-3*y[0]**2 + 2*y[0]
    J[1,1]=-3*y[1]**2 + 2*y[1]
    J[2,1]=-3*y[2]**2 + 2*y[2]
    J[3,1]=-3*y[3]**2 + 2*y[3]
    J[4,1]=-3*y[4]**2 + 2*y[4]
    return J

y, infodict = odeint(f1, yini, times, Dfun=bandjac, full_output=1, mu=1, ml=1)
print("f1: nst: {0}, nfe: {1}, nje: {2}".format(infodict["nst"][-1],
                                                infodict["nfe"][-1],
                                                infodict["nje"][-1]))

在 SciPy 的 integrate.odeint 中使用 banded jacobian 选项的正确方法是什么？

Answer 1

为了完整起见，我正在回答我自己的问题。

正如 Warren Weckesser 指出的那样，有一个 bug在 Scipy <0.14.0 中关于 odeint 如何处理带状雅可比矩阵。

odeint 状态的当前文档:

Dfun should return a matrix whose rows contain the non-zero bands (starting with the lowest diagonal).

我认为这是不正确的。相反，它应该从最高对角线开始。

以下代码片段显示了 Dfun 应如何返回雅可比矩阵(源自 test_integrate.py unit test ):

def func(y, t, c):
    return c.dot(y)

def jac(y, t, c):
    return c

def bjac_rows(y, t, c):
    return np.array([[   0,    75,       1,  0.2], # mu - upper 
                     [ -50,  -0.1,  -1e-04,  -40], # diagonal
                     [ 0.2,   0.1,    -0.2,   0]]) # lower - ml

c = array([[-50,    75,     0,   0],
            [0.2, -0.1,     1,   0],
            [0,    0.1, -1e-4,   0.2],
            [0,      0,   -0.2, -40]])

y0 = arange(4)

t = np.linspace(0, 50, 6)

# using the full jacobian
sol0, info0 = odeint(func, y0, t, args=(c,), full_output=True,Dfun=jac)
print("f1: nst: {0}, nfe: {1}, nje: {2}".format(info0["nst"][-1],
                                                info0["nfe"][-1],
                                                info0["nje"][-1]))

# using the row based banded jacobian
sol2, info2 = odeint(func, y0, t, args=(c,), full_output=True,Dfun=bjac_rows, ml=1, mu=1)
print("f1: nst: {0}, nfe: {1}, nje: {2}".format(info2["nst"][-1],
                                                info2["nfe"][-1],
                                                info2["nje"][-1]))

注意:转置带状矩阵似乎不适用于col_deriv=True