python - 整合二维矢量场阵列(反转 np.gradient)

Question

我有以下问题:我想集成一个二维数组，所以基本上是反转梯度运算符。

假设我有一个非常简单的数组如下:

shape = (60, 60)
sampling = 1
k_mesh = np.meshgrid(np.fft.fftfreq(shape[0], sampling), np.fft.fftfreq(shape[1], sampling))

然后我将我的矢量场构造为一个复值数组(x-vector = 实部，y-vector = 虚部):

k = k_mesh[0] + 1j * k_mesh[1]

因此，例如，真实部分看起来像这样

现在我采用渐变:

k_grad = np.gradient(k, sampling)

然后我使用傅里叶变换来反转它，使用以下函数:

def freq_array(shape, sampling):

    f_freq_1d_y = np.fft.fftfreq(shape[0], sampling[0])
    f_freq_1d_x = np.fft.fftfreq(shape[1], sampling[1])
    f_freq_mesh = np.meshgrid(f_freq_1d_x, f_freq_1d_y)
    f_freq = np.hypot(f_freq_mesh[0], f_freq_mesh[1])

    return f_freq


def int_2d_fourier(arr, sampling):
    freqs = freq_array(arr.shape, sampling)

    k_sq = np.where(freqs != 0, freqs**2, 0.0001)
    k = np.meshgrid(np.fft.fftfreq(arr.shape[0], sampling), np.fft.fftfreq(arr.shape[1], sampling))

    v_int_x = np.real(np.fft.ifft2((np.fft.fft2(arr[1]) * k[0]) / (2*np.pi * 1j * k_sq)))
    v_int_y = np.real(np.fft.ifft2((np.fft.fft2(arr[0]) * k[0]) / (2*np.pi * 1j * k_sq)))

    v_int_fs = v_int_x + v_int_y
    return v_int_fs


k_int = int_2d_fourier(k, sampling)

不幸的是，k 位置的结果不是很准确有一个突然的变化，如下图所示，显示水平线轮廓 k和 k_int .

有什么提高准确性的想法吗？有没有办法让它完全一样？

Answer 1

我实际上找到了解决方案。积分本身会产生非常准确的结果。然而，numpy 的梯度函数计算的是二阶精确的中心差，这意味着梯度本身已经是一个近似值。

当您将上述问题替换为解析公式(例如 2D 高斯)时，可以解析地计算导数。对这个解析导出的函数进行积分时，误差大约为 10^-10(取决于高斯宽度，这会导致混叠效应)。

长话短说:上面提出的集成功能按预期工作!