python - Runge-Kutta 四阶方法。向后整合

Question

我正在使用 Runge-Kutta 四阶方法数值求解具有四次势的弯曲时空背景标量场的常见运动方程:

$\phi^{''}=-3\left(1+\frac{H^{'}}{3H}\right)\phi^{'}-\lambda\phi^3/H^2$,

$'$ denoting the derivative w.r.t. the e-folds number $\textrm{d}N=H\textrm{d}t$ and, from the Friedmann equation:

$H^2=\frac{\lambda \phi^4}{4}\frac{1}{3M_{Pl}^2-(1/2)\phi^{'2}}$;

$H^{'}=-\frac{1}{2M_{Pl}^2}H\phi^{'2}$.

当使用前向积分后得到的最终值作为初始条件向后积分时，问题就来了。当向前整合时，结果会爆炸，而不会与之前获得的值相匹配。我根本不明白问题出在哪里，因为方程式和代码都不是未知的。首先，我整合了 0 到 64 个电子折叠。然后我简单地反转集成方向。

我也附上代码:

def rk4trial(f,v0,t0,tf,n,V):  
    t=np.linspace(t0,tf,n)
    h=t[1]-t[0]
    v=np.array((n+1)*[v0])
    for j in range(n):  
        V.append(v[j])
        V[j]=copy.deepcopy(V[j])
        k1=f(v[j],t[j])*h
        k2=f(v[j]+(1/2)*k1,t[j]+(1/2)*h)*h
        k3=f(v[j]+(1/2)*k2,t[j]+(1/2)*h)*h
        k4=f(v[j]+k3,t[j]+h)*h
        v[j+1]=v[j]+(k1+2*k2+2*k3+k4)/6
    return V, t, h


def Fdet(v,t):
    phi, sigma = v
    H=(((lamb/4)*phi**4)/(3*mpl**2-(1/2)*sigma**2))**(1/2)
    HH=-((1/2)*sigma**2)*(1/mpl**2)
    return np.array([sigma,-3*(1+HH/3)*sigma-lamb*phi**3/(H**2)])

PS:这个问题也发在这里了:https://scicomp.stackexchange.com/questions/33583/runge-kutta-fourth-order-method-integrating-backwards ，其中详细显示了方程式。

编辑:删除了代码中不必要的部分。

编辑:作为对@LutzL 的回应，我附上了\phi/M_{Pl} 和\phi^{'} 在向前(实线)和向后(虚线)积分之后的图，通过做什么(s )他说。如您所见，正向积分的结果突然出现偏差，我无法解释。

Answer 1

我会将 RK4 方法更改为最低限度。没有必要让 v 数组部分复制 V 数组的内容，所以

def rk4trial(f,v0,t0,tf,n,V):  
    t=np.linspace(t0,tf,n)
    h=t[1]-t[0]
    v=v0
    for j in range(n):  
        V.append(v)
        k1=f(v,t[j])*h
        k2=f(v+0.5*k1,t[j]+0.5*h)*h
        k3=f(v+0.5*k2,t[j]+0.5*h)*h
        k4=f(v+k3,t[j]+h)*h
        v=v+(k1+2*k2+2*k3+k4)/6
    return V, t, h

这里没有复制问题，因为 v 在每一步都被重新构造，因此附加到返回数组的对象都是独立的。

后向整合应该和前向整合一样简单，

V1, t1, h1 = rk4trial(Fdet,v0,t0,tf,n,[])
V2, t2, h2 = rk4trial(Fdet,V1[-1],tf,t0,n,[])

和V2[k]应该在方法错误的范围内与V1[-k-1]相同。只有在刚性 ODE 中才会出现大的差异。