python - 牛顿法 : order of statements in loop

Question

我正在尝试在 Python 中实现牛顿法以获得乐趣，但我在概念上理解检查的位置时遇到了问题。

重温牛顿法作为一种通过微分重复线性逼近来逼近根的方法:

我有以下代码:

# x_1 = x_0 - (f(x_0)/f'(x_0))
# x_n+1 - x_n = precision

def newton_method(f, f_p, prec=0.01):
    x=1
    x_p=1
    tmp=0

    while(True):
        tmp = x
        x = x_p - (f(x_p)/float(f_p(x_p)))
        if (abs(x-x_p) < prec):
            break;
        x_p = tmp

    return x

这是有效的，但是如果我将循环中的 if 语句移动到 x_p = tmp 行之后，该函数将停止按预期工作。像这样:

# x_1 = x_0 - (f(x_0)/f'(x_0))
# x_n+1 - x_n = precision

def newton_method(f, f_p, prec=0.01):
    x=1
    x_p=1
    tmp=0

    while(True):
        tmp = x
        x = x_p - (f(x_p)/float(f_p(x_p)))
        x_p = tmp
        if (abs(x-x_p) < prec):
            break;

    return x

澄清一下，函数 v1(第一段代码)按预期工作，函数 v2(第二段)没有。

为什么会这样？
原始版本本质上不是检查当前的 x 与来自 2 个分配的 x ，而不是紧接在前的 x 吗？

这是我使用的测试代码:

def f(x):
    return x*x - 5

def f_p(x):
    return 2*x

newton_method(f,f_p)

编辑

我最终使用了这个版本的代码，它放弃了 tmp 变量并且在概念上对我来说更加清晰:

# x_1 = x_0 - (f(x_0)/f'(x_0))
# x_n+1 - x_n = precision

def newton_method(f, f_p, prec=0.01):
    x=1
    x_p=1
    tmp=0

    while(True):
        x = x_p - (f(x_p)/float(f_p(x_p)))
        if (abs(x-x_p) < prec):
            break;
        x_p = x

    return x

Answer 1

让x[i]是要在迭代中计算的新值。

版本 1 中发生了什么:

声明x = x_p - (f(x_p)/float(f_p(x_p)))翻译成:

x[i] = x[i-2] - f(x[i-2])/f'(x[i-2]) - 1

但是根据实际的数学公式，应该是这样的:

x[i] = x[i-1] - f(x[i-1])/f'(x[i-1])

同样，x[i-1] = x[i-2] - f(x[i-2])/f'(x[i-2]) - 2

比较 1 和 2，我们可以看到 x[i] 1 实际上是 x[i-1]根据数学公式。

这里要注意的要点是x和 x_p总是相隔一次迭代。即 x是 x_p 的实际继承者，与仅查看代码看起来不同。

因此，它按预期正常工作。

版本 2 中发生了什么:

就像上面的例子一样，同样的事情发生在声明x = x_p - (f(x_p)/float(f_p(x_p))) .
但是当我们到达 if (abs(x-x_p) < prec) 时, x_p已将其值更改为 temp = x = <强> x[i-1] .

但正如在版本 1 的情况下推导出的，x也是x[i-1]而不是 x[i] .

所以，abs(x - x_p)转换为 abs(x[i-1] - x[i-1]) ，结果为 0，因此终止迭代。

这里要注意的要点是x和 x_p实际上在数值上是相同的值，这总是导致算法本身仅在 1 次迭代后终止。