python - 有关 numpy.einsum() 的附加信息

Question

我试图理解 numpy.einsum() 函数，但文档以及 this answer来自 stackoverflow 的问题仍然给我留下了一些问题。

让我们取答案中定义的爱因斯坦和和矩阵。

A = np.array([0, 1, 2])

B = np.array([[ 0,  1,  2,  3],
                  [ 4,  5,  6,  7],
                  [ 8,  9, 10, 11]])

np.einsum('i,ij->i', A, B)

因此，根据我对爱因斯坦求和的理解，我会将此函数翻译为等效于符号 (A_i*B_ij)，因此我将获得:

j = 1 : A_1*B_11 + A_2*B_21 + A_3*B_31

j = 2 : A_1*B_12 + A_2*B_22+ A_3*B_32

依此类推，直到 j = 4。这给出了

j = 1 : 0 + 4 + 16

j = 2 : 0 + 5 + 18

根据我的理解，这将是爱因斯坦求和。相反，该函数不执行总和，而是将单独的项存储在矩阵中，我们可以在矩阵中找出 (A_i * B_ij) 的结果

0   0   0   0
4   5   6   7
16  18  20  22

这实际上是如何由函数控制的？我觉得这是由文档中提到的输出标签控制的:

The output can be controlled by specifying output subscript labels as well. This specifies the label order, and allows summing to be disallowed or forced when desired

所以我以某种方式假设放置 ->i 会禁用内部总和的求和。但这究竟是如何工作的呢？这对我来说不清楚。将 ->j 提供预期的实际爱因斯坦总和。

Answer 1

看来你对爱因斯坦求和的理解不正确。您写出的下标运算乘法正确，但求和在错误的轴上。

想想这意味着什么:np.einsum('i,ij->i', A, B) .

1. A有形状 (i,)和 B有形状 (i, j) .
2. 将 B 的每一列相乘通过 A .
3. 对 B 的第二个轴求和，即在标记为 j 的轴上.

这给出形状为 (i,) == (3,) 的输出，而你的下标符号给出形状的输出 (j,) == (4,) .您在错误的轴上求和。

更多细节:

请记住，乘法总是先发生。左边的下标告诉 np.einsum输入数组的哪些行/列/等要相互相乘的函数。此步骤的输出始终与最高维输入数组具有相同的形状。也就是说，此时，假设的“中间”数组的形状为 (3, 4) == B.shape .

乘法之后是求和。这是由从右侧省略哪些下标控制的。在这种情况下，j被省略，这意味着沿着数组的第一个轴求和。 (您正在对第零求和。)

如果您改为写:np.einsum('i,ij->ij', A, B) , 会有没有求和，因为没有省略下标。因此，您将获得问题末尾的数组。

举几个例子:

示例 1:

没有省略的下标，所以没有求和。只需乘以 B 的列通过 A .这是您写出的最后一个数组。

>>> (np.einsum('i,ij->ij', A, B) == (A[:, None] * B)).all()
True

示例 2:

与示例相同。将列相乘，然后对输出的列求和。

>>> (np.einsum('i,ij->i', A, B) == (A[:, None] * B).sum(axis=-1)).all()
True

示例 3:

你在上面写的总和。将列相乘，然后对输出的行求和。

>>> (np.einsum('i,ij->j', A, B) == (A[:, None] * B).sum(axis=0)).all()
True

例 4:

请注意，我们可以在末尾省略所有 轴，以获取整个数组的总和。

>>> np.einsum('i,ij->', A, B)
98

例 5:

请注意，求和确实发生了，因为我们重复了输入标签 'i' .如果我们改为对输入数组的每个轴使用不同的标签，我们可以计算类似于 Kronecker 产品的东西:

>>> np.einsum('i,jk', A, B).shape
(3, 3, 4)

编辑

爱因斯坦求和的 NumPy 实现与传统定义略有不同。从技术上讲，爱因斯坦和没有“输出标签”的概念。这些总是由重复的输入标签暗示。

来自文档:"Whenever a label is repeated, it is summed."所以，传统上，我们会写类似 np.einsum('i,ij', A, B) 的东西.这相当于 np.einsum('i,ij->j', A, B) . i重复，所以求和，只留下标记为 j 的轴.您可以将我们指定无输出标签的总和视为与仅指定输入中不重复的标签相同。即标签'i,ij'与'i,ij->j'相同.

输出标签是在 NumPy 中实现的扩展或扩充，它允许调用者在轴上强制求和或强制不求和。来自文档:"The output can be controlled by specifying output subscript labels as well. This specifies the label order, and allows summing to be disallowed or forced when desired."