python - 对称矩阵及其转置的逻辑比较

Question

我试图通过数值测试矩阵及其转置的乘法是否真的生成对称方阵。

下面是我使用的代码:

mat = np.array([[1,2,3],[1,0,1],[1,1,1],[2,3,5]])
mat2 = np.linalg.inv(np.matmul(np.transpose(mat),mat))
mat2
array([[ 1.42857143,  0.42857143, -0.85714286],
   [ 0.42857143,  1.92857143, -1.35714286],
   [-0.85714286, -1.35714286,  1.21428571]])

mat2 似乎是对称的。

然而，下面代码的结果让我感到困惑:

np.transpose(mat2) == mat2
array([[ True, False, False],
   [False,  True, False],
   [False, False,  True]])

但是当我用mat做同样的程序时，结果如我所料:

np.transpose(np.matmul(np.transpose(mat),mat)) == np.matmul(np.transpose(mat),mat)
array([[ True,  True,  True],
   [ True,  True,  True],
   [ True,  True,  True]])

这与计算问题有关吗？如果那样，我如何证明非对角线元素相同？

Answer 1

比较 mat 和 mat.T，您是在比较整数和整数，没有问题。

mat2 是 float ，容易出现细微错误。当您打印出 mat2 时，您看到的是完整数字的截断版本。查看 mat2 和 mat2.T 之间的区别:

>>> mat2 - mat2.T
array([[ 0.00000000e+00,  1.11022302e-16, -1.11022302e-16],
       [-1.11022302e-16,  0.00000000e+00,  2.22044605e-16],
       [ 1.11022302e-16, -2.22044605e-16,  0.00000000e+00]])

差异在 0.0000000000000001 的数量级上，这意味着它们“对于所有意图和目的”都是相等的，但并不完全相等。从这里有两个地方可以去。您可以接受数值精度是有限的，并使用类似 numpy.allclose 的东西来进行相等性测试，这允许一些小错误:

>>> np.allclose(mat2, mat2.T)
True

或者，如果你真的坚持你的矩阵是对称的，你可以用这样的东西来强制它:

>>> mat3 = (mat2 + mat2.T)/2
>>> mat3 == mat3.T
array([[ True,  True,  True],
       [ True,  True,  True],
       [ True,  True,  True]])