python - numpy:可以反转零行列式矩阵吗？

Question

根据定义，行列式为零的方阵不可逆。但是，出于某种原因，在生成协方差矩阵后，我成功地对其进行了逆运算，但采用协方差矩阵的行列式最终得到了 0.0 的输出。

可能会出现什么问题？我应该不相信行列式输出，还是不应该相信逆协方差矩阵？还是两者兼而有之？

我的代码片段:

cov_matrix = np.cov(data)
adjusted_cov = cov_matrix + weight*np.identity(cov_matrix.shape[0]) # add small weight to ensure cov_matrix is non-singular
inv_cov = np.linalg.inv(adjusted_cov) # runs with no error, outputs a matrix
det = np.linalg.det(adjusted_cov) # ends up being 0.0

Answer 1

numerical inversion of matrices不涉及计算行列式。 (Cramer's formula 的逆对于大型矩阵不实用。)因此，行列式计算为 0(由于 float 精度不足)这一事实并不是矩阵求逆例程的障碍。

根据 BobChao87 的评论，这里是一个简化的测试用例(Python 3.4 控制台，numpy 导入为 np)

A = 0.2*np.identity(500)
np.linalg.inv(A)

输出:一个主对角线上有5的矩阵，是A的正确逆矩阵。

np.linalg.det(A)

输出:0.0，因为行列式 (0.2^500) 太小而无法用 double 表示。

一个可能的解决方案是一种 pre-conditioning (这里，只是重新缩放):在计算行列式之前，将矩阵乘以一个因子，使其条目平均更接近 1。在我的示例中，np.linalg.det(5*A) 返回 1。

当然，这里使用因子 5 是作弊，但是 np.linalg.det(3*A) 也会返回一个非零值(大约 1.19e-111)。如果您尝试 np.linalg.det(2**k*A) 让 k 运行适度的正整数，您很可能会找到一个返回非零值的值。然后你就会知道原始矩阵的行列式大约是输出的 2**(-k*n) 倍，其中 n 是矩阵大小。