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下面的 MWE 显示了两种对相同 2D 核密度估计进行积分的方法,这些估计是为 this data 获得的。使用 stats.gaussian_kde()
功能。
对所有 (x, y)
执行集成低于阈值点 (x1, y1)
,它定义了积分上限(积分下限为 -infinity
;参见 MWE)。
int1
函数使用简单的蒙特卡罗方法。int2
函数使用 scipy.integrate.nquad功能。问题是 int1
(即:蒙特卡洛方法)系统地给出比 int2
更大的积分值.我不知道为什么会这样。
下面是 int1
运行 200 次后获得的积分值示例(蓝色直方图)与 int2
给出的积分结果(红色垂直线):
导致积分值差异的原因是什么?
MWE
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import stats
from scipy import integrate
def int1(kernel, x1, y1):
# Compute the point below which to integrate
iso = kernel((x1, y1))
# Sample KDE distribution
sample = kernel.resample(size=50000)
# Filter the sample
insample = kernel(sample) < iso
# The integral is equivalent to the probability of drawing a
# point that gets through the filter
integral = insample.sum() / float(insample.shape[0])
return integral
def int2(kernel, x1, y1):
def f_kde(x, y):
return kernel((x, y))
# 2D integration in: (-inf, x1), (-inf, y1).
integral = integrate.nquad(f_kde, [[-np.inf, x1], [-np.inf, y1]])
return integral
# Obtain data from file.
data = np.loadtxt('data.dat', unpack=True)
# Perform a kernel density estimate (KDE) on the data
kernel = stats.gaussian_kde(data)
# Define the threshold point that determines the integration limits.
x1, y1 = 2.5, 1.5
i2 = int2(kernel, x1, y1)
print i2
int1_vals = []
for _ in range(200):
i = int1(kernel, x1, y1)
int1_vals.append(i)
print i
添加
请注意,此问题源自 this answer .起初我没有注意到答案在使用的积分限制中是错误的,这解释了为什么结果在 int1
之间。和 int2
是不同的。
int1
正在整合域 f(x,y)<f(x1,y1)
(其中 f 是核密度估计),而 int2
集成在域 (x,y)<(x1,y1)
.
最佳答案
您对分布重新采样
sample = kernel.resample(size=50000)
然后计算每个采样点的概率小于边界处的概率
insample = kernel(sample) < iso
这是不正确的。考虑边界 (0,100) 并假设您的数据具有 u=(0,0) 和 cov=[[100,0],[0,100]]。点 (0,50) 和 (50,0) 在该内核中具有相同的概率,但只有其中一个在边界内。由于两者都通过了测试,因此您进行了过度采样。
您应该测试 sample
中的每个点是否在边界内,然后计算概率。有点像
def int1(kernel, x1, y1):
# Sample KDE distribution
sample = kernel.resample(size=100)
include = (sample < np.repeat([[x1],[y1]],sample.shape[1],axis=1)).all(axis=0)
integral = include.sum() / float(sample.shape[1])
return integral
我用下面的代码测试了这个
def measure(n):
m1 = np.random.normal(size=n)
m2 = np.random.normal(size=n)
return m1,m2
a = scipy.stats.gaussian_kde( np.vstack(measure(1000)) )
print(int1(a,-10,-10))
print(int2(a,-10,-10))
print(int1(a,0,0))
print(int2(a,-0,-0))
产量
0.0
(4.304674927251112e-232, 4.6980863813551415e-230)
0.26
(0.25897626178338407, 1.4536217446381293e-08)
蒙特卡洛积分应该像这样工作
在代码中:
def mc_wo_sample(kernel,x1,y1,lboundx,lboundy):
nsamples = 50000
volume = (x1-lboundx)*(y1-lboundy)
# generate uniform points in range
xrand = np.random.rand(nsamples,1)*(x1-lboundx) + lboundx
yrand = np.random.rand(nsamples,1)*(y1-lboundy) + lboundy
randvals = np.hstack((xrand,yrand)).transpose()
print randvals.shape
return (volume*kernel(randvals).sum())/nsamples
运行以下
print(int1(a,-9,-9))
print(int2(a,-9,-9))
print(mc_wo_sample(a,-9,-9,-10,-10))
print(int1(a,0,0))
print(int2(a,-0,-0))
print(mc_wo_sample(a,0,0,-10,-10))
产量
0.0
(4.012958496109042e-70, 6.7211236076277e-71)
4.08538890986e-70
0.36
(0.37101621760650216, 1.4670898180664756e-08)
0.361614657674
关于python - 使用 Monte Carlo 与 scipy.integrate.nquad 的不同积分结果,我们在Stack Overflow上找到一个类似的问题: https://stackoverflow.com/questions/35902531/
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