c++ - 线性(超定)代数方程的解

Question

我有一组线性代数方程，Ax=By。其中A是36x20的矩阵，x是20x1的 vector ，B是36x13，y是13x1。 排名(A)=20。因为系统是超定的，所以最小二乘解是可能的，即； x = (A^TA)^-1A^TBy。我想要的解决方案应使残留误差 e = Ax-By 最小化。我使用 Maple 对矩阵进行转置和求逆，但对如此大的矩阵进行求逆需要更长的时间和 RAM。我什至花了一整天时间进行矩阵求逆，但由于 RAM 内存不足，它被打断了。这非常慢，我想 Maple 无法实现。

有人可以建议用 C++ 或任何其他求解方程的方法来解决这个问题，而不是采用逆和转置。

矩阵的形成，

    [ 1 0 0 ...0]
    [ 0 1 0 ...0]
    [ 0 0 1 ...0]    [LinearVelocity_x]
    [ 0 0 0 ...1]    [LinearVelocity_y]
    [ . . . ....], x=[LinearVelocity_z] 
A = [ . . . ....]    [RotationalVelocity_ROLL]
    [ . . . ....]    [RotationalVelocity_PITCH]    
    [ 1 0 0 ...0]    [RotationalVelocity_YAW]
    [ 0 1 0 ...0]
    [ 0 0 1 ...0]
    [ 0 0 0 ...1]

x 基本上是位置 (x,y,z) 和方向(Roll、Pitch 和 Yaw) vector 。但是 B 不是固定 ones 和 zeros 的矩阵。 B 是一个矩阵，包含角度的sin、cos 元素，这些元素是实时传感器数据而不是固定数据。在 maple B 中，几乎是一个由变量和固定元素组成的矩阵，你可以说是一个dense sparse 矩阵。同时，y是所有传感器或编码器的 vector 。

Answer 1

如果您的数据是 float ，那么 Maple 应该可以很快得到它。如果 A、B 和 y 都只有数字条目，则尝试，

ans := LinearAlgebra:-LeastSquares( evalf(A), evalf(B.y) );

或者，如果您想要本身具有最小 2 范数的解决方案，

ans := LinearAlgebra:-LeastSquares( evalf(A), evalf(B.y), 'optimize'=true );

我的猜测是您的数据是纯有理数或整数，您可能没有意识到使用它会导致 Maple 尝试找到一个精确的有理数答案。或者您可能在数据中有一些未知的符号量(......尽管这可能会使计算最小残差的目标成为问题)。这种纯粹精确的数据，无论是理性的还是符号的，都是潜在的内存占用噩梦，并且可能根本不是您真正想要的，因为您正在考虑将 C++ 作为替代方案。这就是为什么我用 evalf 调用来将数据转换为 float 。

对于纯 float 据，36x20 最小二乘法是一个小问题，Maple 应该能够在几分之一秒内完成。

您应该让 LinearAlgebra:-LeastSquares 例程完成提升，而不是尝试自己形成或使用正规方程或矩阵求逆。如果您想要一种稳健的方法，请使用 method=SVD 选项。让它处理数值上的困难。