c++ - jacobi 迭代方法在 C++ 中有错误的答案

Question

我正在编写 Jacobi 迭代法来求解任何线性方程组。该程序适用于某些示例，但不适用于其他示例。例如对于

A=     and B=
7  3       5
2  3       4

这会起作用并且答案是正确的，但是对于

A=     and B=
1  2       3
3  4       7

答案是错误的，而且数字很大。我真的不知道我应该怎么做才能做出正确的计算。我使用了一些其他代码，但我仍然遇到代码问题。

#include <iostream>
using namespace std;

int main(){
    double A[10][10], alpha[10][10], B[10], betha[10], x[10][100], sum[10];
    int i, j, n, k, kmax;
    cout << "insert number of equations \n";
    cin >> n;
    cout << "insert LHS of equations (a11,a12,...,ann)\n";
    for (i = 1; i <= n; i++){
        for (j = 1; j <= n; j++){
            cin >> A[i][j];
        }
    }
    cout << "A=\n";
    for (i = 1; i <= n; i++){
        for (j = 1; j <= n; j++){
            cout << A[i][j] << "\t\t";
        }
        cout << "\n\n";
    }
    cout << "alpha=\n";
    for (i = 1; i <= n; i++){
        for (j = 1; j <= n; j++){
            if (i == j){
                alpha[i][j] = 0;
            }
            else{
                alpha[i][j] = -A[i][j] / A[i][i];
            }
        }
    }
    for (i = 1; i <= n; i++){
        for (j = 1; j <= n; j++){
            cout << alpha[i][j] << "\t\t";
        }
        cout << "\n\n";
    }
    cout << "insert RHS of equations";
    for (i = 1; i <= n; i++){
        cin >> B[i];
    }
    cout << "\nbetha=\n";
    for (i = 1; i <= n; i++){
        betha[i] = B[i] / A[i][i];
        cout << betha[i] << endl;
    }
    cout << "Enter the number of repetitions." << endl;
    cin >> kmax;
    k = 0;
    for (i = 1; i <= n; i++){
        sum[i] = 0;
        x[i][k] = betha[i];    //initial values 
    }
    for (k = 0; k <= kmax; k++){
        for (i = 1; i <= n; i++){
            for (j = 1; j <= n; j++){
                sum[i] += alpha[i][j] * x[j][k];
            }
            x[i][k] = betha[i] + sum[i];
            sum[i] = 0; 
        }
    }
    cout << "answers:\n\n";
    for (i = 1; i <= n; i++){
        cout << x[i][kmax] << endl;
    }
    return 0;
}

Answer 1

您应该再次检查收敛条件。在那里你会发现通常该方法只收敛对角占优矩阵。第一个示例满足该条件，而第二个示例明显违反了该条件。

如果不能保证收敛，可能会出现发散，正如您发现的那样。

---

更具体地说，第二个例子中的雅可比迭代计算

xnew[0] = (3 - 2*x[1])/1;
xnew[1] = (7 - 3*x[0])/4;

经过两次迭代，步骤的组合给出

xtwo[0] = (3 - 2*xnew[1])/1 = -0.5 + 1.5*x[0];
xtwo[1] = (7 - 3*xnew[0])/4 = -0.5 + 1.5*x[1];

这显然是在用因子 1.5 扩展初始误差。