c++ - 数学问题 : Triangle, 金字塔、旋转、平移、缩放

Question

另一个棘手的问题。你在这里看到的是我的物理金字塔，它由 3 个 LED 构成，在 1 个平面上形成一个三角形，另一个 LED 在中间中心，比其他 3 个高约 18 毫米。第 4 个使三角形成为金字塔。 (如果从直角三角形上看可能会看得更清楚，这个是绕水平轴旋转的，可以很好的看到一根棍子上的二极管)。

第二张图是我运行的程序。左边的方框显示了 LED 的原始图片(带红外过滤器的照片)。中间的图片显示我的程序找到了这些点，并且还能够根据某些条件判断哪个点是哪个(比如 C 总是在二极管之间具有最大距离的两条线相交的地方；并且最长的长度总是a 和 b)。但是不要关心这个，我知道这些点是 100% 正确找到的。

然后右图是一些计算出来的值，比如C和c之间的高度等等。我本来可以计算更多，但我现在懒得去关心，因为我被卡住了。

我想计算金字塔在 3 维空间中的旋转和平移。

黄色点是在相机 z 方向上围绕通过三角形中心的轴旋转后的 LED。所以现在我不必担心这个，在计算其他 2. 旋转绕水平轴，旋转绕垂直轴。我可以很容易地用三角形中心到第 4 个二极管的距离长度(如您所见第 4 个二极管在图像平面上旋转移动)或两个轴的长度来计算。

但我的问题是深度未知。

它影响所有长度(a、b、c，以及从中心到第 4 个二极管的长度，如果我们称之为 d 和 e)。我知道真实金字塔的测量值，公差为 +-5% 左右，但它们也会受到缩放的影响。那么我该如何处理呢？

我想到了一个方程式，其中包含横轴长度、纵轴长度、角度 alpha、beta 和 gamma 以及长度 d 和 e 之间的比率。

Alpha、beta 和 gamma 仅受围绕轴旋转的影响(我想知道。我想知道旋转和缩放)，其中围绕一个轴的旋转与围绕另一个轴的旋转具有相反的效果.因此，如果以相同的角度围绕两个轴旋转，则轴的长度之比与之前相同。

变焦(真实:它离相机有多近；我首先想知道的是:倍增因子 2x、3x、0.5、0,4322344，......)不影响角度，但是所有长度:a、b、c、d、e、hc(轴的垂直长度)、hx(我还没有计算出来，但这很容易。名称 hx 可以变化，我只是随机想到了一些正确的东西现在；它是水平轴的长度)以同样的方式(我猜)。

你看我想了很多，但我觉得我太笨了。

那么，是否有任何数学天才可以为我提供正确的方程式，用于旋转或/和缩放因子？

(我也考虑过使用 Posit/Downhill- Simplex，等等，但这是最好的，因为我已经知道这么多，比如所有的点等等)

拜托，拜托，我真的很需要你的帮助!我正在用 C++ 编写此代码，如果您需要了解，可以借助 OpenCV，但我认为它更像是一个数学问题。

提前致谢!

啊，而且 Alpha 似乎总是和 Beta 一样!

编辑:不得不删除第二张图片

Answer 1

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