c++ - 分区、斯特林数和第一个切比雪夫多项式的递归函数

Question

所以我正在做家庭作业，我需要为分区、斯特林数(第一类和第二类)和第一类的切比雪夫多项式创建递归函数。我的程序应该能够让用户输入一个正整数 n，然后创建名为 Partitions.txt、Stirling1.txt、Stirling2.txt 和 Chebyshev.txt 的文件，创建一个包含所有值 f(k,m) 的表对于 1<=k<=n 和 1<=m<=n。我正在努力开始这项任务，尽管我一直在做研究并试图弄清楚，但我觉得我对它一无所知。如果有人可以帮助我，我将不胜感激!谢谢!

    #include <iostream>
    #include <vector>
    #include "OutputFile.h"

    using namespace std;
    using namespace OutputStream;


    int firstKindStirling();
    vector<vector<int> > getPartitions(int number, int maxElement);

    int main() {

        cout << "Welcome! Please input a number m:";
        int m;
        cin>>m;


        OFile fout("Partitions.txt");

        return 0;
    }

    vector<vector<int> > getPartitions(int number, int maxElement)
    {
        if (number < 1) 
            return vector<vector<int>>();

       vector<vector<int>> partitions;

        if (number <= maxElement) 
            partitions.push_back(number); //for some reason this doesn't want to work. Not sure what I'm missing here. 

        for (int i = number - maxElement; i < number; ++i)
        {
            // (recursively) get the partitions of `i`, with elements no larger than `n - i`
            auto partitionsForI = getPartitions(i, number - i);

            // add `n - i` to the front of all of those partitions
            for(vector<int>& partition : partitionsForI)
            {
                partition.insert(partition.begin(), number - i);
            }

            // add these new partitions to our list.
            partitions.insert(partitions.end(), partitionsForI.begin(), partitionsForI.end());
        }
        return partitions;
    }

    int firstKindStirling(int n, int k) 
    {
        if (n == 0 && k == 0) return 1;
        else if (n == 0 || k == 0) return 0;
        else return -(n-1) * firstKindStirling(n-1, k) + firstKindStirling(n-1, k-1);
    }

这是我的输出 .h 文件

    #ifndef OUTPUT_H
    #define OUTPUT_H

    #include <fstream>
    #include <string>
    #include <vector>
    #include <iostream>
    #include <sys/stat.h>
    #include <sstream>
    #include <memory>

    namespace OutputStream {

        class OFile {
            std::ofstream file;
        public:

            OFile(std::string filename, size_t output_precision = 10) {

                file.open(filename);
                if(file.fail()) throw std::runtime_error("Error: cannot open file");

                file.precision(output_precision);

            };

            /*
            OFile& operator<<(int x) {
                file<<x;
                return *this;
            }
            */

            /*
            OFile& operator<<(const Point2D& p) {
                file<<p;
                return *this;
            }
            */

            OFile& operator<<(const std::vector<int>& v) {

                for(auto x : v) file<<x<<std::endl;
                return *this;
            }


            template<typename T>
            OFile& operator<<(const T& p) {
                file << p;
                return *this;
            }


            ~OFile() { file.close(); };

        };


        // Strongly enumerate type
        enum class FileType { Input, Output, SafeOutput };

        // Partial Template Specialization
        template<FileType> class File;

        template<>
        class File < FileType::Input > {
        public:
            File( const std::string& filename ) : fin(filename) {

                if(fin.fail()) throw std::runtime_error("Error opening file: "+filename);
            };

            /** ...

            IFile& allows for syntax like
            fin>>a>>b>>c;
            */
            File& operator>>(int& a) {
                fin>>a;
                return *this;
            }

            /**...*/
            operator bool() {
                return !(fin.fail());
            }

            operator std::string() {
                return "Active";
            }

            // operator [data type]() {
                // code here
            //  return [object of type data type];
            // }

            friend File& getline( File& fin, std::string& line) {
                getline( fin.fin, line);
                return fin;
            }

            friend File& getrow( File& fin, std::vector<int>& rows);
            friend File& getmatrix( File& fin, std::vector< std::vector<int> >& table);

            ~File() { fin.close(); };
        private:
            std::ifstream fin;
        };  

        template<>
        class File < FileType::Output > {
            std::ofstream file;        
        public:

            File(std::string filename, size_t output_precision = 10) {

                file.open(filename);
                if(file.fail()) throw std::runtime_error("Error: cannot open file");

                file.precision(output_precision);

            };

            /*
            OFile& operator<<(int x) {
                file<<x;
                return *this;
            }
            */

            /*
            OFile& operator<<(const Point2D& p) {
                file<<p;
                return *this;
            }
            */

            File& operator<<(const std::vector<int>& v) {

                for(auto x : v) file<<x<<std::endl;
                return *this;
            }


            template<typename T>
            File& operator<<(const T& p) {
                file << p;
                return *this;
            }


            ~File() { file.close(); };

        };

    }

    #endif

Answer 1

这真的是几个问题合二为一，所以我会分成几个部分来回答。

分区

这可能是这些任务中最难的，但如果您将其分解，它是非常可行的。

n 的所有分区是什么？每个分区中的第一个数字必须介于 1 和 n 之间。由于我们不关心顺序，所以让我们始终保持数字降序。所以第一个分区列表看起来像这样:

• {n}
• {n-1, 1}
• {n-2, 2}, {n - 2, 1, 1}
• {n-3, 3}, {n - 3, 2, 1}, {n - 3, 1, 1, 1}
• ...
• {1, 1, ..., 1}

但是等等!我们可以更简单地说。就是这样

• [以n开头的分区集]
• [以 n - 1 开头的分区集]
• [以 n - 2 开头的分区集]
• ...
• [以1开头的分区集]

对于 1 到 n 之间的所有 i，这实际上只是所有以 n - i 开头的分区。所以，如果我们能找到一种方法为每个 i 获取每组分区，我们就可以简化事情。

我们该怎么做？好吧，如果我们考虑一下，我们就会意识到我们可以很容易地获得以 n - i 开头的每个分区。每个分区只是 n - i 后跟一种获取加起来为 i 的数字的方法...这正是分区的含义，所以我们找到了我们的递归案例!我们通过获取 n - i 后跟 i 的每个分区来获取所有分区。

现在我们只需要一个基本案例。这很简单:我们可以将零的分区定义为空集。

将它们放在一起

那么这看起来像什么？

vector<vector<int>> getPartitions(int number, int maxElement)
{
    if (number < 1) return vector<vector<int>>();
    vector<vector<int>> partitions;

    if (number <= maxElement) partitions.push_back({number});

    for (int i = number - maxElement; i < number; ++i)
    {
        // (recursively) get the partitions of `i`, with elements no larger than `n - i`
        auto partitionsForI = getPartitions(i, number - i);

        // add `n - i` to the front of all of those partitions
        for(vector<int>& partition : partitionsForI)
        {
            partition.insert(partition.begin(), number - i);
        }

        // add these new partitions to our list.
        partitions.insert(partitions.end(), partitionsForI.begin(), partitionsForI.end());
    }
    return partitions;
}

斯特林数

这些非常相似。如果您查看它们各自的维基百科页面，您可以找到每种类型的递归关系:

First Kind

s1(n, k) = -(n - 1) * s1(n - 1, k) + s1(n - 1, k - 1)

Second Kind

S2(n, k) = k * S2(n - 1, k) + S2(n - 1, k - 1)

并且它们具有相同的基本情况:S(0, 0) = 1、S(n, 0) = 0 和 S(0, n) = 0。

所以你可以定义一个函数来像这样计算它们:

int firstKindStirling(int n, int k) 
{
    if (n == 0 && k == 0) return 1;
    else if (n == 0 || k == 0) return 0;
    else return -(n-1) * firstKindStirling(n-1, k) + firstKindStirling(n-1, k-1);
}

第二类的看起来非常相似。

切比雪夫多项式

目前还不完全清楚这里的要求是什么。我假设它是在某一点上评估一个，而不是想出一些扩展的表示。它与斯特林数几乎相同。

再次，the wikipedia page有递推关系:

chebyshev(0, x) = 1
chebyshev(1, x) = x
chebyshev(n, x) = 2 * x * chebyshev(n-1, x)  -  chebyshev(n-2, x)

我假设您可以弄清楚如何将其变成一个函数。 (提示:基本上只需要将这些左侧变成 if 语句，类似于上面的示例。)